Αρχείο ετικέτας ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή σε ένα διάστημα $\Delta$ και $(\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ σε ένα σημείο της $M(x_0,f(x_0)$ , με $x_0\in\Delta,$ τότε η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την $(\epsilon),$ με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι

$f(x)\geq \alpha x+\beta.$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κοίλη σε ένα διάστημα $\Delta$ και $(\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ σε ένα σημείο της $M(x_0,f(x_0),$ με $x_0\in\Delta,$ τότε η $C_f$ βρίσκεται κάτω από την $(\epsilon),$ με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι

$f(x)\leq \alpha x+\beta.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

25 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής

$f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)$

για κάθε $x\in\Delta$ και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

19 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις $f,g:A\rightarrow\rr.$
Αν η $f$ έχει ολικό ελάχιστο το $\mu$
και η $g$ έχει ολικό μέγιστο το $M$
και ισχύει $\mu\geq M,$
τότε ισχύει ότι $f(x)\geq g(x)$ για κάθε $x\in A.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

18 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν μια συνάρτηση $f: A\rightarrow\rr$ έχει ολικό ελάχιστο $\mu>0$ τότε ισχύει ότι $f(x)>0$ για κάθε $x\in A.$

Αν μια συνάρτηση $f: A\rightarrow\rr$ έχει ολικό μέγιστο $M<0$ τότε ισχύει ότι $f(x)<0$ για κάθε $x\in A.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1 Νοεμβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 3 Σχόλια

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής $f(x)\geq g(x)$ με $f, g$ παραγωγίσιμες συναρτησεις για καθε $x\in\Delta$ εργαζόμαστε ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος και η ανίσωση γίνεται $f(x)-g(x)\geq0$

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΕΥΡΕΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

15 Σεπτεμβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Μπορούμε να αποδείξουμε μια διπλή ανισότητα δύο μεταβλητών $\alpha,\beta$ με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ ως εξής:

Βρίσκουμε μια συνάρτηση $f$ , ώστε η ανισότητα να παίρνει τη μορφή:

$\kappa< \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}<\lambda$

Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ για την $f$ στο $[\alpha,\beta]$ . Υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ ώστε:

$f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$

Ξεκινάμε από την ανισότητα $\alpha< \xi<\beta$ και καταλήγουμε στην ανισότητα:

$\kappa<f'(\xi)<\lambda$

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

14 Σεπτεμβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν έχουμε δεδομένο μια ανισοτική σχέση για την $f'$ και το ζητούμενο είναι μια ανισοτική σχέση για την $f,$ τότε ενδεχομένως η απόδειξη μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ →