ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μια συνάρτηση f λέγεται:
Γνησίως αύξουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε x_{1},x_{2}\in \Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

    \[f(x_{1})<f(x_{2}).\]

Γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε
x_{1},x_{2}\in\Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

    \[f(x_{1})>f(x_{2}).\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις (f \circ g)(x) και g(x), τότε για να βρούμε τη συνάρτηση f(x) εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε όπου g(x)=u.
  • Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς x.
  • Αντικαθιστούμε το x που βρήκαμε στον τύπο f(g(x).)
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Παράδειγμα.2
    Δίνονται οι συναρτήσεις

        \[f(x)= 			      \left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      $x-2,  \quad x \leq 0$ \\ 				      $x+2, \quad x>0$ \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

    και

        \[g(x)= 			      \left\{ 			  \begin{tabular}{ll} 				      $1-x,  \quad x<1$ \\ 				      $2-x, \quad x \geq 1$ \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

    Να ορίσετε τη f \circ g.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Έστω f και g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Αν ισχύει f(A)\cap B \notin \emptyset, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολίζουμε με g \circ f τη συνάρτηση που έχει:

  • Πεδίο ορισμού το σύνολο A_{1}=\{x\in A \quad / \quad f(x) \in B\}
  • Και τύπο (g \circ f)(x)=g(f(x)).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Τότε οι πράξεις του αθροίσματος, διαφοράς, γινόμενου και πηλίκου ορίζονται ως εξής:

  • S(x)=f(x)+g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • D(x)=f(x)-g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • P(x)=f(x)\cdot g(x), για \quad x \in A\cap B(Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, για \{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\} (Δηλαδή το πηλίκο R έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B, τέτοια ώστε να μην μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το σύνολο \{x \in A\cap B \quad /  \quad g(x) \neq 0\}).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

    Για να αποδείξουμε ότι δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες αρκεί να δείξουμε ότι:

  • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και,
  • για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους έχουν τον ίδιο τύπο, δηλαδή f(x)=g(x) \quad \forall x \in A
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

    ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

  • Σημείο ανήκει σε C_{f}
  • Ένα σημείο M(x_{0}, y_{0}) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει: f(x_{0})=y_{0}

    Σημείο τομής της γραφικης παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες ή με άλλες συναρτήσεις.

    Για να βρούμε:

  • Το σημείο τομής με τον άξονα x'x.
  • Θέτουμε y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα μας δώσει τα σημεία τομής.

  • Το σημείο τομής με τον άξονα y'y.
  • Θέτουμε x=0 και λύνουμε την εξίσωση y=f(0). Το σημείο τομής με τον άξονα y'y είναι η λύση της εξίσωσης και είναι το A(0,f(0)). Εφόσον υπάρχει τέτοιο σημείο αυτό είναι και μοναδικό.

  • Τα σημεία τομής δύο συναρτήσεων f(x) και g(x).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται άρτια όταν:

  • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
  • Ισχύει f(-x)=f(x) για κάθε x \in A
  • Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y.

    Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται περιττή όταν:

  • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
  • Ισχύει f(-x)=-f(x) για κάθε x \in A
  • Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.
  • Θεωρούμε την εξίσωση y=f(x) και τη λύνουμε ως προς x θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το y.
  • Απαιτούμε η λύση x που βρήκαμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.
  • Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε έτσι το σύνολο τιμών της f.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

    Social media & sharing icons powered by UltimatelySocial

    Ζητάμε 5' από τον πολύτιμό σας χρόνο και την άποψή σας για να γίνουμε καλύτεροι.

    Ερωτηματολόγιο