ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ εργαζόμαστε ως εξής:
* Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0
* Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.
* Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμο \xi και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής f(\xi). Το πρόσημο αυτό έχει η f σε ολόκληρο το αντίστοιχο υποδιάστημα.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Ερώτηση
Τι ονομάζουμε αριθμητική παράσταση; Να γράψετε δύο παραδείγματα.
Απάντηση:
Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς και γι´ αυτό ονομάζονται αριθμητικές παραστάσεις.

Για παράδειγμα…
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

Ύπαρξη \nu ριζών

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει τουλάχιστον \nu ρίζες σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) χωρίζουμε το (\alpha,\beta) σε \nu κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.
Συνέχεια ανάγνωσης Ύπαρξη \nu ριζών

Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα στο (\alpha,\beta) εργαζόμαστε ως εξής:

* Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano βρίσκουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα x_o\in (\alpha,\beta).
* Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (\alpha, \beta), οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.
Συνέχεια ανάγνωσης Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Απόδειξη ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b]

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει x_o\in[\alpha,\beta] που ικανοποιεί μία ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής:
* Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ισότητας στο πρώτο μέλος, θέτουμε όπου x_o το x και ονομάζουμε h(x) τη συνάρτηση στο πρώτο μέλος.
* Αποδεικνύουμε ότι η h είναι συνεχής στο [\alpha ,\beta] και διαπιστώνουμε ότι h(\alpha)\cdot h(\beta)\leq 0.
* Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) Αν: h(\alpha)\cdot h(\beta)=0\Rightarrow h(\alpha)=0\quad ή \quad h(\beta)=0
Οπότε είναι x_o=\alpha \quad ή \quad x_o=\beta
2) Αν h(\alpha)\cdot h(\beta)<0, τότε από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in(\alpha , \beta), ώστε h(x_o)=0.
* Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει x_o\in [\alpha,\beta] ώστε h(x_o)=0.
Συνέχεια ανάγνωσης Απόδειξη ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b]

ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

Αν η εξίσωση περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μετά θέτουμε συνάρτηση f(x). Στο τέλος αποδεικνύουμε ότι η ρίζα της f(x) είναι και ρίζα της εξίσωσης.

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \left[ \alpha ,\beta \right]. Αν ισχύει ότι:
* Η f είναι συνεχής στο \left[ \alpha , \beta \right] και
* f(\alpha) \cdot f(\beta)<0
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{o} \in \left( \alpha ,\beta \right) τέτοιο ώστε:

    \[f(x_{o})=0\]

Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοιχτό διάστημα \left( \alpha ,\beta \right)
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1,2) και B(3,1). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΕΦΑΡΜΟΓΗ

ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά