Αρχείο κατηγορίας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOLZANO

ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

Ύπαρξη \nu ριζών

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει τουλάχιστον \nu ρίζες σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) χωρίζουμε το (\alpha,\beta) σε \nu κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.
Συνέχεια ανάγνωσης Ύπαρξη \nu ριζών

Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα στο (\alpha,\beta) εργαζόμαστε ως εξής:

* Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano βρίσκουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα x_o\in (\alpha,\beta).
* Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (\alpha, \beta), οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.
Συνέχεια ανάγνωσης Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Απόδειξη ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b]

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει x_o\in[\alpha,\beta] που ικανοποιεί μία ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής:
* Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ισότητας στο πρώτο μέλος, θέτουμε όπου x_o το x και ονομάζουμε h(x) τη συνάρτηση στο πρώτο μέλος.
* Αποδεικνύουμε ότι η h είναι συνεχής στο [\alpha ,\beta] και διαπιστώνουμε ότι h(\alpha)\cdot h(\beta)\leq 0.
* Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) Αν: h(\alpha)\cdot h(\beta)=0\Rightarrow h(\alpha)=0\quad ή \quad h(\beta)=0
Οπότε είναι x_o=\alpha \quad ή \quad x_o=\beta
2) Αν h(\alpha)\cdot h(\beta)<0, τότε από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in(\alpha , \beta), ώστε h(x_o)=0.
* Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει x_o\in [\alpha,\beta] ώστε h(x_o)=0.
Συνέχεια ανάγνωσης Απόδειξη ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b]

ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

Αν η εξίσωση περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μετά θέτουμε συνάρτηση f(x). Στο τέλος αποδεικνύουμε ότι η ρίζα της f(x) είναι και ρίζα της εξίσωσης.

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \left[ \alpha ,\beta \right]. Αν ισχύει ότι:
* Η f είναι συνεχής στο \left[ \alpha , \beta \right] και
* f(\alpha) \cdot f(\beta)<0
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{o} \in \left( \alpha ,\beta \right) τέτοιο ώστε:

    \[f(x_{o})=0\]

Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοιχτό διάστημα \left( \alpha ,\beta \right)
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO