Αρχείο κατηγορίας ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=2x-1. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία y=4x+2 είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +\infty της C_f. Να βρεθούν τα όρια

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)(x+1)-4x^2}{3x-2010}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha και \beta, ώστε η ευθεία (\epsilon): y=2x-1 είναι ασύμπτωτη της C_f στο +\infty.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x\hm x+2010. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, C_f, έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -\infty και ότι η γραφική παράσταση C_f τέμνει τη παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία.
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία y=\lambda x+\beta είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty αν και μόνο αν:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}[f(x)=\lambda x]=\beta\in\rr\]

αντιστοίχως στο -\infty

    \[\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)=\lambda x]=\beta\in\rr\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

    \[\text{Αν\,\,}\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\in\rr \,\,\text{αντιστοίχως} \quad \lim_{x \to -\infty}f(x)=l\in\rr,\]

τότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty, αντίστοιχα στο -\infty.

  • Μια συνάρτηση έχει το πολύ δύο οριζόντιες ασύμπτωτες, μία στο -\infty και μία στο +\infty.
  • Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε διαστήματα της μορφής (-\infty,\alpha), (\beta,+\infty), τότε για να βρούμε (αν υπάρχουν) τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C_f, υπολογίζουμε τα όρια

        \[\lim_{x \to -\infty}f(x) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)\]

    Αν κάποιο από τα παραπάνω όρια είναι ίσο με l\in\rr, τότε η ευθεία y=l είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty ή στο +\infty αντίστοιχα.

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

    ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Αν ένα τουλάχιστον απο τα όρια

        \[\lim_{x \to x_0^+}f(x), \quad \lim_{x \to x_0^-}f(x)\]

    είναι +\infty \quad \text{ή} \quad -\infty, τότε η ευθεία

        \[x=x_0\]

    λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ