Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


Στις περιπτώσεις που ζητάμε την μονοτονία μιας συνάρτησης f, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της, αλλά γνωρίζουμε ότι η σύνθεση της με μια συνάρτηση g είναι ίση με μια συνάρτηση h.

    \[g\circ f = h.\]

Πρέπει να υπολογίσουμε την μονοτονία της g της h, οπότε θα είναι γνωστή και η μονοτονία της σύνθεσης τών συναρτήσεων f με g, δηλαδη της g\circ f.


Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ


Αν στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου, στον παρονομαστή υπάρχει ως παράγοντας τριωνυμο που δεν παραγοντοποιειται.
Τότε το αντίστοιχο κλάσμα της αρχικής μορφοποίησης γίνεται:

    \[\dfrac{Ax+B}{\alpha x^{2}+\beta x +\gamma}\]

Παράδειγμα.1.

Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα της παρακάτω ρητής συνάρτησης:

    \[\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{x^{3}-1}\, dx.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εκτελούμε την διαίρεση P(x): Q(x) και γράφουμε:

    \[I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\]

    \[I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx\]

Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:

    \[\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή προσπαθούμε να γράψουμε τον παρονομαστή ως γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων και στη συνέχεια την ρητη συνάρτηση ως άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστή τον κάθε ένα απο τους παράγοντες που βρήκαμε.

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{(\alpha_{1}x+\beta_{1})\cdots(\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu} )}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}x+\beta_{1}}+\cdots +\dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu}}\Big) dx =\]

    \[\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}}\Big[\ln |\alpha_{1}x+\beta_{1}|\Big]_{\alpha}^{\beta}+ \cdots + \dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}}\Big[ \ln |\alpha_{\nu}x +\beta_{\nu}|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]



Παράδειγμα

Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητης συνάρτησης:

    \[\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\, dx.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο αριθμητής είναι η παράγωγος του παρονομαστη γράφουμε

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\ln \big|{Q(x)}\big|\Big)'dx =\]

    \[\Big[\ln \big|{Q(x)}\big|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]


Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

    \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx.\]

Συνέχεια ανάγνωσης Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα που ακολουθεί, θα υπολογισθεί εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση, κάνοντας χρήση του τεχνάσματος της προσθαφαίρεσης της εκθετικής συνάρτησης

    \[{\bf{e^{x}}}.\]


Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

    \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ

Στις περιπτώεις που έχουμε αναγωγικό τύπο στο ορισμένο ολοκλήρωμα εφαρμόζουμε την μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί:
Παράδειγμα.
Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα:

    \[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx \quad \text{με } \,\,\, \nu \in \mathbb{N^{*}}\]


i) Να αποδείξετε ότι: I_{\nu} =e -\nu I_{\nu-1} για κάθε \nu \geq 2.
ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
\quad \quad \quad \dint_{0}^{1} xe^{x}\, dx και \dint_{0}^{1} x^{4}e^{x}\, dx.

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

Η παραγοντική ολοκλήρωση είναι σημαντική μέθοδος για τον υπολογισμό σύνθετων περιπτώσεων ολοκληρωμάτων

    \[ \begin{tabular}{r l r r r c r} $ 1.)\dint_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x}{\hm^{2} x}\, dx.$        & &           &  	2.)$\dint_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{x-\hm x}{\syn^{2}x}dx$	           &    &   &						\\\\ 	 &                   &  	 & 	     &           &		&						\\\\  3.)$\dint_{1}^{4}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\, dx$	 &                   &  	 & 	4.)$ \dint_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x^{2}}dx.$    &           &		&						\\  \end{tabular}\\ \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΠΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Για τα ολοκληρώματα της μορφής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} e^{\kappa x+\lambda}\hm(\mu x+\nu )dx \,\,\, \text{ή} \int_{\alpha}^{\beta} e^{\kappa x+\lambda}\syn(\mu x+\nu)dx\]

όπου \kappa,  \mu\in\rr^*μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας είτε τον εκθετικό είτε το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα:

    \[ e^{\kappa x+\lambda}=\bigg(\dfrac{ e^{\kappa x+\lambda}}{\kappa}\bigg)'\]

    \[ \hm(\mu x+\nu)=\bigg(-\dfrac{\syn(\mu x+\nu)}{\mu}\bigg)'\]

    \[ \syn(\mu x+\nu)=\bigg(\dfrac{\hm(\mu x+\nu)}{\mu}\bigg)' \]

Συνήθως σε ολοκληρώματα αυτής της μορφής εφαρμόζουμε την παραγοντική ολοκλήρωση περισσότερες απο μία φορές και εμφανίζεται ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα I. Εξισώνουμε τότε το I με το τελικό αποτέλεσμα και λύνουμε ως προς I.

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΠΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ