Αρχείο κατηγορίας Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΑΜΕΣΟ ΕΥΘΕΙΑ

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη τη διάμεσο ευθεία

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΑΜΕΣΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΓΩΝΙΑΣ

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη διχοτόμο γωνίας δυο ευθειών.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΓΩΝΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

    \[\boldsymbol{Μ(f(\lambda), g(\lambda))}\]

Έστω ότι έχουμε σημεία της μορφής Μ(f(\lambda), g(\lambda)), όπου f(\lambda) και g(\lambda) συναρτήσεις που έχουν μεταβλητή το \lambda. Για να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, εργαζόμαστε ως εξής:
Θέτουμε \mathrm{x} = f(\lambda) και \mathrm{y} = g(\lambda), οπότε είναι Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y}), και προσπαθούμε να βρούμε μια ισότητα που να συνδέει τα \mathrm{x} και \mathrm{y} και δεν περιέχει το \lambda. Προσπαθούμε δηλαδή να κάνουμε την απαλοιφή του \lambda.

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Αν \vec{α}=(\mathrm{x_1},\mathrm{y_1}) και \vec{\beta}=(\mathrm{x_2},\mathrm{y_2}) δύο διανύσματα του Καρτεσιανού επιπέδου, τότε:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\mathrm{x_1}\mathrm{x_2}+\mathrm{y_1}\mathrm{y_2}\]

Δηλαδή:
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομωνύμων συντεταγμένων τους.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου

Για τα διανύσματα \vec{α},\vec{\beta} και \vec{\gamma} ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  1.  \color{violet}{(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}), \lambda \in \mathbb{R}}
  2.  \color{magenta}{\vec{α} \cdot (\vec{\beta + \gamma}) = \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}}
  3.  \color{orange}{\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \lambda_{\vec{α}} \lambda_{\vec{\beta}} = -1, εφόσον \color{orange}{\vec{α}, \vec{\beta} \nparallel y'y}}

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΡΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΔΕΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΠΑΝΤΑ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Κάθετα διανύσματα – Ορισμός και ιδιότητες εσωτερικού γινομένου}

Σε ασκήσεις που υπάρχει ως δεδομένο ή ως ζητούμενο ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα. χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

    \[\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = 0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Κάθετα διανύσματα – Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Όταν δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

    \[\text{Αν:}\quad \vec{\alpha}=(x_{1}\, , \, y_{1}) \quad \text{και} \quad  \vec{\beta}=(x_{2}\, , \, y_{2})\]

    \[\text{με}\quad \vec{\alpha} {\Large{\bot} \vec{\beta}\]

    \[\text{Τότε:} \quad \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =0 \quad \text{οπότε} \quad x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2} =0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ