Αρχείο κατηγορίας Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων

Αν \vec{\alpha}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και \vec{\beta}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2), τότε ισχύουν:

  • \vec{\alpha}+\vec{\beta}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)+(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)=(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2)
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}=\lambda \cdot (\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1, \lambda \cdot \mathrm{y_1}),\lambda \in \mathbb{R}
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}+\mu \cdot \vec{\beta}=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1 + \mu \cdot \mathrm{x}_2, \lambda \cdot \mathrm{y_1}+\mu \cdot \mathrm{y_2}), \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Απόδειξη
Για τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος \vec{\alpha} ισχύουν:

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

 

Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω AB ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2). Αν Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) είναι το μέσο του τμήματος AB, τότε ισχύει ότι:

    \[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} \quad \text{και}\quad \mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ

Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Οι συντεταγμένες του διανύσματος \overrightarrow{AB} με αρχή το σημείο Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και τέλος (πέρας) το σημείο Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) υπολογίζονται ως εξής:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}})\]

δηλαδή:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1 \, \,, \mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

Κέντρο παραλληλογράμμου
Στις ασκήσεις με παραλληλόγραμμο πρέπει να λαμβάνουμε υπόψιν τις παρακάτω ιδιότιτες:

  • Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
  • Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

  • Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο \overset{\triangle}{ΑB\Gamma} διάμεσος ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
  • Είναι προφανές ότι σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά

.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ
Η απόσταση των σημείων A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) του Καρτεσιανού επιπέδου είναι ίση με:

    \[AB=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\]

Απόδειξη

Η απόσταση δύο σημείων AB είνα ίση με το μέτρο του διανύσματος που ορίζουν.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ – ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ

ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ


Για να εξετάσουμε τρια σημεία οτι είναι συνευθειακά θα πρεπει να οριζουν δυο διανύσματα παράλληλα οπότε η ορίζουσα των συντεταγμένων τους να ειναι μηδεν

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ