Αρχείο κατηγορίας Χωρίς κατηγορία

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$  \end{tabular} \right. \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία συνάρτησης πολλαπλού τύπου, δηλαδή για να μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία μια συνάρτηση της μορφής

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$f_1(x),$ & $x\leq x_0$ \\\\ 									$f_2(x),$ & $x >x_0$\\ 									\end{tabular} 									\right.  									\]

εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha,\beta \in \rr, ώστε να υπάρχει το όριο στο άπειρο και να ισχύει:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω η ρητή συνάρτηση

    \[Q(x)=\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}+\alpha_{\nu-1}x^{\nu -1}+\cdots +\alpha_{1}x+\alpha_{0} }{\beta_{\mu}x^{\mu}+\beta_{\mu-1}x^{\mu -1}+\cdots +\beta_{1}x+\beta_{0} }\quad \text{με} \, \alpha_{\nu},\beta_{\mu}\neq 0.\]

Για να υπολογίσουμε τα όριο στο άπειρο, της ρητής συνάρτησης, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}Q(x) και \displaystyle\lim_{x\to-\infty}Q(x), υπολογίζουμε το όριο στο άπειρο του λόγου του μεγιστοβάθμιων όρων δηλαδη:

    \[\lim_{x\to +\infty}Q(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\beta_{\mu}x^{\mu}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\mu}}\cdot x^{\nu-\mu}\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}Q(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\beta_{\mu}x^{\mu}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\mu}}\cdot x^{\nu-\mu}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Έστω οτι έχουμε να υπολογίσουμε ένα σύνθετο όριο απροσδιόριστης μορφής που περιέχει την συνάρτηση f(x). Εάν γνωρίζουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty τότε:

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το f(x) στη μεγαλύτερη δύναμη.
  • Στους προσθετέους που δεν υπάρχει κοινος παράγοντας κάνουμε αναγκαστική παραγοντοποίηση και δημιουργούνται κλάσματα της μορφής \dfrac{1}{\big(f(x)\big)^{\nu}}, με \nu \in \mathbb{Ν}^{*}
  • Ισχύουν οι ιδιότητες:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

    Έστω \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{P(x)}{Q(x)} το όριο μιας ρητής συνάρτησης
    (με P(x) και Q(x) πολυώνυμα.)
    Αν θέσουμε όπου x το x_{o} και προκύψει απροσδιόριστη μορφή \dfrac{0}{0}, τότε για να υπολογίσουμε το όριο εργαζόμαστε ως εξής:

  • Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, ώστε να εμφανίσουμε ως παράγοντα το x-x_{o}.
  • Απλοποιούμε τον παράγοντα x-x_{o}.
  • Αν θέσουμε όπου x το x_{o} και προκύψει πάλι μορφή \dfrac{0}{0}, τότε επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ