Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα A. Τότε το σύνολο τιμών της f το f(A) θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

  • A=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
    f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
  • A=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
    f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
  • A=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
  • A=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
  • A=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
  • A=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
  • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
  • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο \left[\alpha,\beta\right], τότε η f παίρνει στο \left[\alpha,\beta\right] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m.
Δηλαδή, υπάρχουν x_1,x_2\in\left[\alpha,\beta\right] τέτοια ώστε, αν m=f(x_1) και M=f(x_2), να ισχύει

    \[m\leq f(x)\leq M, \quad \text{για κάθε} \quad x\in\left[\alpha,\beta\right]\]

Αν m =M Τότε η f είναι σταθερή στο [\alpha , \beta]
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[-3,3]\to\mathbb{R} για την οποία ισχύει
x^2+f^2(x)=9, \quad για κάθε x \in[-3,3].

i) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ii) Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,3) να βρείτε τον τύπο της f.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, με f(x)\neq 0 για κάθε x\in\mathbb{R}, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(0,3). Να βρείτε το όριο

    \[\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\left[f(-2)x^{3}+5x^2-3x+1\right]}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

Παράδειγμα
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x)=\sqrt{2}συνx-1

ως προς τα πρόσημα στο διάστημα \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ εργαζόμαστε ως εξής:
* Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0
* Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.
* Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμο \xi και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής f(\xi). Το πρόσημο αυτό έχει η f σε ολόκληρο το αντίστοιχο υποδιάστημα.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Ερώτηση
Τι ονομάζουμε αριθμητική παράσταση; Να γράψετε δύο παραδείγματα.
Απάντηση:
Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς και γι´ αυτό ονομάζονται αριθμητικές παραστάσεις.

Για παράδειγμα…
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

Ύπαρξη \nu ριζών

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει τουλάχιστον \nu ρίζες σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) χωρίζουμε το (\alpha,\beta) σε \nu κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.
Συνέχεια ανάγνωσης Ύπαρξη \nu ριζών