Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

    \[f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}\]

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

με \alpha<x_o <\beta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Για να έχει νόημα το

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

    πρέπει η f να είναι συνεχής στο [\alpha, \beta] άρα και στο x_0.

  • Επίσης:

        \begin{eqnarray*} 		\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ 									&=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ 									&=&... 	\end{eqnarray*}

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

    Γενικά, για να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f, στο [\alpha ,\beta], θα πρέπει να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την αρχική (παράγουσα) συνάρτηση G της f.
    Δηλαδή εάν G, είναι μια παράγουσα της f, με f(x)=G'(x) τότε για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}G'(x)dx = \Big[ G(x)\Big]_{\alpha}^{\beta}.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛOΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

    Παράδειγμα.1.
    Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

        \[\int_{1}^{2} 6x^2ydx\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛOΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    Παράδειγμα
    Να βρείτε το πραγματικό αριθμό \alpha για τον οποίο ισχύει:

        \[\int_{-\alpha}^{\alpha} (4x+6)dx=36\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

    Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ένα διάστημα [\alpha,\beta].
    Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [\alpha,\beta], τότε

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt=G(\beta)-G(\alpha)\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

    ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

    Τα παρακάτω θεωρήματα, μας δινουν τις βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.
    ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο
    Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [\alpha,\beta] και \lambda,\mu\in\rr. Τότε ισχύουν

        \begin{align*} 	&\int_{\alpha}^{\beta} \lambda f(x)dx=\lambda\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx. \\\\ 	&\int_{\alpha}^{\beta} \big[f(x)+g(x)\big]dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx.\\\\ 	&\int_{\alpha}^{\beta} \big[\lambda f(x)+\mu g(x)\big]dx=\lambda \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx+\mu \int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx. \end{align*}

    Συνέχεια ανάγνωσης ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

    ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

    Για τον ορισμό της παραγώγου ξέρουμε ότι ισοδύναμα ισχύει:
    Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}\in A_{f}, αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το παρακάτω όριο:

        \[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL


    Παράδειγμα.1

    Έστω f:\rr\to\rr μια συνάρτηση παραγωγίσιμη με f(0)=f'(0)=0, \, f''(0)=2.

    Αν:

        \[ g(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{f(x)}{x}, \quad x\neq 0$ \\\\ 			$ 0, \quad x=0$  		\end{tabular} 	\right. \]

    i_) Να βρείτε την g'(0).
    ii_) Να δείξετε ότι η g' είναι συνεχής στο x_{0}=0.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

    Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

    Η σωστή χρήση του κανονα του DE L HOSPITAL απαιτεί μεγάλη προσοχή.
    Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=0 και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=0
    όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\} και υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

        \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

    Συνέχεια ανάγνωσης Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL