Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Στα ολοκληρώματα ρητής ή άρρητηςσυνάρτησης όπου η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο ως x^{2} αρκετές φορές χρειάζεται να κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου ή της εφαπτομένης αξιοποιόντας την ταυτότητα \hm^{2}x+ \syn^{2}x =1.

Τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου


Για υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής

    \[\int_{\kappa}^{\lambda} f\Big( x, \sqrt{\beta^{2} -\alpha^{2}x^{2}}\Big)\, dx.\]

Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου δηλαδή:

    \[\text{Θέτουμε } \quad x = \dfrac{\beta}{\alpha}\cdot \hm u \quad \text{με} \quad u \in \big[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\big].\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


Για την ολοκλήρώση τριγωνομετρικων συναρτήσεων της μορφής:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} \hm^{\nu}x \cdot \syn^{\mu}x \,\, dx\]

διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν το \hm x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \syn x.
  • Αν το \syn x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \hm x.
  • Αν το \hm x και το \syn x είναι υψωμένο σε άρτια δύναμη, τότε χρησιμοποιούμε τους τύπους του αποτετραγωνισμού
    \syn^{2}x =\dfrac{1+\syn2x}{2} και \hm^{2}x =\dfrac{1-\syn2x}{2}.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x =u.
    Οπότε:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x=u.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}\]

    εργαζόμαστε ως εξης:

  • Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.
  • Θέτουμε \sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.
  • Οπότε ( kx+\lambda)' \, dx  = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow  k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.
  • Γράφουμε τα ριζικά \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}, ως δυνάμεις του u και κάνουμε την αντικατάσταση.

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για την ολοκλήρωση άρρητης συναρτήσης, δηλαδή για ολοκληρώματα που περιέχουν ν-οστη ρίζα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Bigg(x,\sqrt[\nu]{g(x)}\Bigg) \,\, dx\]

    Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης θέτοντας:

        \[\sqrt[\nu]{g(x)} = u \Rightarrow g(x)=u^{\nu} \quad (1.)\]

    Οπότε έχουμε:

        \[g'(x)\, dx= \nu u^{\nu -1}\, du\]

    Η μέθοδος την αντικατάστασης εφαρμόσιμη και έχει αξία όταν είναι εφικτή η επίλυση της εξίσωσης (1.)
    ως προς x.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

  • Στις περιπτωσεις υπολογισμου ορισμένου ολοκληρώματος που που περιέχει πρωτοβάθμιο πολυώνυμο της μορφής:
    \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{2}\big) \,dx \,\, \text{ή} \,\, \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{3}\big) \,dx, \, \kappa \in \rr^{*}
    εκτελουμε τις γνωστές ταυτότητες.
  • Παράδειγμα.1.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ


    Η μέθοδος της ολοκληρωσης με αντικατατάσταση ( ή αλλαγη μεταβλητής ) περιγράφεται από τον τύπο:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Big( g(x)\Big) \cdot g'(x) dx = \int_{u_{1}}^{u_{2}} f(u) du.\]

    όπου f και g' συνεχείς συναρτήσεις με u = g(x), \, du =g'(x) dx και u_{1}= g(\alpha), u_{2} =g(\beta).

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΠΟΥ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΧΟΥΝ ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ