ΜΕΤΡΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Υπολογισμός μέτρου της μορφής \vert \boldsymbol{\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta}} \rvert

Αν για τα διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} γνωρίζουμε το μέτρο τους |\vec{α}|, |\vec{\beta}| και την γωνία τους (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}), τότε μπορούμε να βρούμε ένα μέτρο της μορφής \lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert
υψώνοντας το στο τετράγωνο και χρησιμοποιόντας την ιδιότητα \vec{α}^{2} = |\vec{α}|^{2}.


Η εύρεση του ζητούμενου μέτρου γίνεται ως εξής:
Υπολογίζουμε αρχικά το:

    \begin{align*} \lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert^{2} &= (\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta})^{2} \\\\                                                        &= \kappa^{2} \vec{α} + 2\kappa\lambda\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \vec{\beta}^{2} \\\\ &= \kappa^{2} \lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2\kappa\lambda\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2}\\\\ &= \kappa^{2} \lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2\kappa\lambda\lvert \vec{α} \rvert \cdot |\vec{\beta}|\syn(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) + \lambda^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \end{align*}

Αφού γνωρίζουμε το μέτρο των |\vec{α}|, |\vec{\beta}| και την γωνία τους (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}), ειναι γνωστο το \lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert^{2} από όπου στη συνέχεια βρίσκουμε το \lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

α) Είναι:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{α},\vec{\beta}}) \Leftrightarrow\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 3 \cdot 4 \sigma \upsilon \nu\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 6\]

β) Έχουμε:

    \begin{align*} \lvert \vec{α} - 2\vec{\beta} \rvert^{2}  &= (\vec{α} - 2\vec{\beta})^{2} \\\\                                           &= \vec{α}^{2} - 4 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4 \vec{\beta}^{2} \\\\                                           &= \lvert \vec{α} \rvert^{2} - 4\vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4 \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \\\\                                           &= 3^{2} - 4 \cdot 6 + 4 \cdot 4^{2} \\\\                                           &= 9 - 24 +64 = 49. \end{align*}

Άρα είναι \lvert \vec{α} - 2\vec{\beta} \rvert^{2} = 49 οπότε \lvert \vec{α} - 2\vec{\beta} \rvert = 7.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *