ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ

Print Friendly, PDF & Email

Σχέση της μορφής \boldsymbol{\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} + \mu \vec{\gamma} = \vec{0}}

Αν για τα διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} και \vec{\gamma} ισχύει μια σχέση της μορφής:

    \[\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} + \mu \vec{\gamma} = \vec{0}\quad \text{ με}\quad \kappa, \lambda, \mu \in \mathbb{R}\]

και γνωρίζουμε τα \lvert \vec{α} \rvert, \lvert \vec{\beta} \rvert και \lvert \vec{\gamma} \rvert, τότε μπορούμε να υπολογίζουμε καθένα από τα εσωτερικά γινόμενα \vec{α} \cdot \vec{\beta}, ~\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} και \vec{\gamma} \cdot \vec{α}.

Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε το

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta}\]

ως εξής:

    \[\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} + \mu \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow\]

    \[\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} = -\mu \vec{\gamma}\]

άρα:

    \[(\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta})^{2} = (-\mu \vec{\gamma})^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\kappa^{2} \vec{α}^{2} + 2\cdot\kappa \cdot\lambda\cdot \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \vec{\beta}^{2} = \mu^{2} \vec{\gamma}^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\kappa^{2} \lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2\cdot\kappa \cdot\lambda \cdot\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^2 \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = \mu^{2} \lvert \vec{\gamma} \rvert^{2} \Leftrightarrow \dots\]

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

    \[2\vec{α} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow 2\vec{α} + \vec{\beta} = - \vec{\gamma}\]

άρα:

    \[(2 \vec{\alpha}+\vec{\beta})^{2} = (-\vec{\gamma})^{2} \Leftrightarrow\]

    \[4 \vec{a}^{2}+4 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+\vec{\beta}^{2}=\vec{\gamma}^{2} \xLeftrightarrow [\vec{\gamma}^{2}=|\vec{\gamma}|^{2}]{\vec{a}^{2} = |\vec{a}|^{2}\quad \vec{\beta}^{2}=|\vec{\beta}|^{2}}\]

    \[4 \lvert \vec{\alpha}|^{2}+4 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+|\vec{\beta}\rvert^{2}=|\vec{\gamma}|^{2} \Leftrightarrow\]

    \[4 \cdot 2^{2}+4 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+1^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow\]

    \[4 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = -8 \Leftrightarrow\]

    \[\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = -2\]

Ομοίως είναι

    \[2\vec{α} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{\beta}+ \vec{\gamma} = - 2 \vec{α},\]

άρα:

    \[(\vec{\beta}+\vec{\gamma})^{2} = (-2 \vec{\alpha})^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\vec{\beta}^{2}+2 \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}+\vec{\gamma}^{2} = 4 \vec{\alpha}^{2} \xLeftrightarrow [\vec{\gamma}^{2}=|\vec{\gamma}|^{2}]{\vec{a}^{2} = |\vec{a}|^{2}\quad \vec{\beta}^{2}=|\vec{\beta}|^{2}}\]

    \[\lvert \vec{\beta}\rvert^{2}+2 \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}+\lvert\vec{\gamma}\rvert^{2} = 4\lvert\vec{\alpha}\rvert^{2} \Leftrightarrow\]

    \[1 + 2 \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}+9=16 \Leftrightarrow\]

    \[\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = 3\]

Τέλος είναι

    \[2\vec{α} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow2\vec{α} + \vec{\gamma} = - \vec{\beta},\]

άρα:

    \[(2 \vec{\alpha}+\vec{\gamma})^{2} = (-\vec{\beta})^{2} \Leftrightarrow\]

    \[4 \vec{\alpha}^{2} + 4 \vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} + \vec{\gamma}^{2} = \vec{\beta}^{2}  \xLeftrightarrow [\vec{\gamma}^{2}=|\vec{\gamma}|^{2}]{\vec{a}^{2} = |\vec{a}|^{2}\quad \vec{\beta}^{2}=|\vec{\beta}|^{2}}\]

    \[4\lvert \vec{\alpha}\rvert^{2} + 4 \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha} + \lvert \vec{\gamma}\rvert^{2 } = \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \Leftrightarrow\]

    \[16 + 4 \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}+9 = 1 \Leftrightarrow\]

    \[\vec{\gamma} \cdot \vec{a} = -6\]

β)
Έχουμε:

    \begin{align*} &\sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) = \frac{\vec{α} \cdot \vec{\beta}}{\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert} = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1\\\\ &\sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{\beta}, \vec{\gamma}}) = \frac{\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}}{\lvert \vec{\beta} \rvert \lvert \vec{\gamma} \rvert} = \frac{3}{1 \cdot 3} = 1\\\\ &\sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{\gamma}, \vec{α}}) = \frac{\vec{\gamma} \cdot \vec{α}}{\lvert \vec{\gamma} \rvert \lvert \vec{α} \rvert} = \frac{-6}{3 \cdot 2} = -1 \end{align*}

Είναι \sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})=-1, άρα \vec{α} \uparrow \downarrow \vec{\beta} και επειδή \lvert \vec{α} \rvert = 2 \lvert \vec{\beta} \rvert, ισχύει ότι \vec{α} = -2\vec{\beta}.

Ομοίως είναι \sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{\beta}, \vec{\gamma}}) = 1, άρα \vec{\beta} \uparrow \uparrow \vec{\gamma} και επειδή \lvert \vec{\gamma} \rvert = 3 \lvert \vec{\beta} \rvert, ισχύει ότι \vec{\gamma} = 3\vec{\beta}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *