ΟΜΟΡΡΟΠΑ ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Κριτήριο για ομόρροπα ή αντίρροπα διανύσματα

Ισχύουν οι εξής ισοδυναμίες:

  • \vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert
  • \vec{α} \uparrow \downarrow \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = -\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert

  • Rendered by QuickLaTeX.com


    ΛΥΣΗ

    α) Αφού απο υπόθεση ισχύει:

        \[\frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2} = \frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} = \frac{\lvert \vec{\gamma} \rvert}{11}\]

    Τότε θεωρούμε ότι υπάρχει θετικός αριθμός \lambda >0 τέτοιος ώστε:

        \[\frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2} = \frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} = \frac{\lvert \vec{\gamma} \rvert}{11} = \lambda > 0\]

    οπότε ισχύουν:

        \[\frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2} = \lambda, \quad \frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} = \lambda,\quad  \frac{\lvert \vec{\gamma} \rvert}{11} = \lambda\]

    δηλαδή:

        \[\lvert \vec{α} \rvert = 2\lambda, \quad \lvert \vec{\beta} \rvert = 3\lambda \quad \text{ και} \quad \lvert \vec{\gamma} \rvert = 11\lambda\]

    Έχουμε:

        \[\vec{α} + 3\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{α} + 3\vec{\beta} = -\vec{\gamma}\]

    άρα:

        \begin{align*} &(\vec{\alpha}+3 \vec{\beta})^{2} =(-\vec{\gamma})^{2} \Leftrightarrow \\\\ &\vec{a}^{2}+6 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+9 \vec{\beta}^{2}=\vec{\gamma}^{2} \xLeftrightarrow[\vec{\gamma}^{2}=|\vec{\gamma}|^{2}]{\vec{\alpha}^{2} = |\vec{\alpha}|^{2},\,\, \vec{\beta}^{2}= |\vec{\beta}|^{2}}\\\\ &\lvert \vec{\alpha}\rvert^{2}+6 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+9\lvert \vec{\beta}\rvert^{2}=\lvert \vec{\gamma}\rvert^{2} \Leftrightarrow \\\\ & 4 \lambda^{2}+6 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+9 \cdot 9 \lambda^{2}=121 \lambda^{2} \Leftrightarrow \\\\ &6 \vec{a} \cdot \vec{\beta} =36 \lambda^{2} \Leftrightarrow \\\\ &\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=6 \lambda^{2} \quad (1) \end{align*}

    Επίσης ισχύει ότι:

        \[\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert = 2\lambda \cdot 3\lambda \Leftrightarrow\]

        \[\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert =6\lambda^{2} \quad (2)\]

    Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:

        \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \Leftrightarrow\]

        \[\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta}\]

    β) Μπορούμε να εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο και να αποδείξουμε ότι:

        \[\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = -\lvert \vec{\beta} \rvert \lvert \vec{\gamma} \rvert\]

    Εναλλακτικά μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:
    Ισχύει ότι

        \[\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta} \quad \text{ και} \quad \frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2}=\frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} \Leftrightarrow \lvert \vec{α} \rvert = \frac{2}{3} \lvert \vec{\beta} \rvert.\]

    Επομένως ισχύει ότι

        \[\vec{α} = \frac{2}{3} \vec{\beta}.\]

    Άρα έχουμε:

        \[\vec{α} + 3\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow\]

        \[\frac{2}{3} \vec{\beta} + 3\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow\]

        \[\Big(\frac{2}{3}  + 3\Big)\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow\]

        \[\dfrac{11}{3}\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow\]

        \[\vec{\gamma} = -\frac{11}{3}\vec{\beta}\]

    Επειδή -\dfrac{11}{3}<0 είναι:

        \[\vec{\beta} \uparrow \downarrow \vec{\gamma}.\]

    Βιβλιογραφία:
    Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *