ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ

Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων

Θεωρούμε δύο διανύσματα $\vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0}$ του επιπέδου
και έστω $\theta = (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}).$
Το συνημτονο της γωνίας $\theta$ που σχηματιζουν τα διανύσματα $\vec{α}, \vec{\beta}$ δίνεται από τον τύπο:

$\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{\vec{α} \cdot \vec{\beta}}{\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert}.$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Θεωρούμε δύο διανύσματα $\vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0}$ του επιπέδου
και έστω $\theta = (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})$ η γωνία που σχηματίζουν.
Τότε από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων έχουμε:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \syn\theta$

Λύνοντας ως προς $\syn\theta$ προκύπτει ότι:

$\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{\vec{α} \cdot \vec{\beta}}{\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert}$

Επειδή $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ},$ οπότε αν γνωρίζουμε το $\sigma \upsilon \nu \theta,$ μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γωνία $\theta.$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Βρίσκουμε αρχικά ότι:

$\begin{align*} &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \syn\theta \Rightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \Big( \pi -\frac{\pi}{3}\Big) \Leftrightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \Big( -\sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} \Big)\Leftrightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot\vec{\beta} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \Leftrightarrow\\\\ & \vec{α} \cdot \vec{\beta} = -\frac{1}{2} \end{align*}$

Αν $\varphi$ είναι η γωνία των διανυσμάτων $\vec{\mathrm{u}}$ και $\vec{\nu},$ τότε

$\sigma \upsilon \nu \varphi = \dfrac{\vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu}}{\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert \lvert \vec{\nu} \rvert}.$

`Ομως είναι:

$\begin{align*} \vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu} &= (2\vec{α} + 4\vec{\beta}) \cdot (\vec{α} - \vec{\beta}) \\\\ &= 2\vec{α}^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\vec{\beta} \cdot \vec{α} - 4\vec{\beta}^{2} \\\\ &= 2\lvert \vec{α} \rvert^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\vec{α}\cdot \vec{\beta} - 4\lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \\\\ &= 2\lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} - 4\lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \\\\ &= 2 + 2(-\frac{1}{2})-4 \\ &= -3 \end{align*}$

$\vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu}= -3.$

Επίσης επειδή: $\vec{\mathrm{u}}=2 \vec{a}+4 \vec{\beta}$
Τότε θα ισχύει: $|\vec{\mathrm{u}}|=|2 \vec{a}+4 \vec{\beta}|$

$\begin{align*} &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=(2 \vec{a}+4 \vec{\beta})^{2}\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=4 \vec{a}^{2}+16 \vec{a} \cdot \vec{\beta}+16 \vec{\beta}^{2}\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=4+16\left(-\frac{1}{2}\right)+16\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=12\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert =\sqrt{12}\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert =\sqrt{4\cdot 3}\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert = 2\sqrt{3} \end{align*}$

Τέλος είναι $\vec{\nu} = \vec{α} - \vec{\beta}$
οπότε θα ισχύει: $|\vec{\nu}| = |\vec{α} - \vec{\beta}|$

$\begin{align*} &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2} = (\vec{α} - \vec{\beta})^{2}\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2}= \vec{α}^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta}^{2} \Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2}= 1 - 2 (-\frac{1}{2}) + 1 \Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2}=1+1+1 \Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2} = 3\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert = \sqrt{3}. \end{align*}$