ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων

Θεωρούμε δύο διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0} του επιπέδου
και έστω \theta = (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}).
Το συνημτονο της γωνίας \theta που σχηματιζουν τα διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} δίνεται από τον τύπο:

    \[\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{\vec{α} \cdot \vec{\beta}}{\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert}.\]


ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Θεωρούμε δύο διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0} του επιπέδου
και έστω \theta = (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) η γωνία που σχηματίζουν.
Τότε από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων έχουμε:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \syn\theta\]

Λύνοντας ως προς \syn\theta προκύπτει ότι:

    \[\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{\vec{α} \cdot \vec{\beta}}{\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert}\]

Επειδή 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}, οπότε αν γνωρίζουμε το \sigma \upsilon \nu \theta, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γωνία \theta.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Βρίσκουμε αρχικά ότι:

    \begin{align*} &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \syn\theta \Rightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \Big( \pi -\frac{\pi}{3}\Big) \Leftrightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \Big( -\sigma \upsilon \nu  \frac{\pi}{3} \Big)\Leftrightarrow\\\\ &\vec{α} \cdot\vec{\beta} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \Leftrightarrow\\\\ & \vec{α} \cdot \vec{\beta} = -\frac{1}{2} \end{align*}

Αν \varphi είναι η γωνία των διανυσμάτων \vec{\mathrm{u}} και \vec{\nu}, τότε

    \[\sigma \upsilon \nu \varphi = \dfrac{\vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu}}{\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert \lvert \vec{\nu} \rvert}.\]

`Ομως είναι:

    \begin{align*} \vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu} &= (2\vec{α} + 4\vec{\beta}) \cdot (\vec{α} - \vec{\beta}) \\\\                                  &= 2\vec{α}^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\vec{\beta} \cdot \vec{α} - 4\vec{\beta}^{2} \\\\                                  &= 2\lvert \vec{α} \rvert^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\vec{α}\cdot \vec{\beta}  - 4\lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \\\\                                  &= 2\lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} - 4\lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \\\\                                  &= 2 + 2(-\frac{1}{2})-4 \\                                  &= -3 \end{align*}

    \[\vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu}= -3.\]

Επίσης επειδή: \vec{\mathrm{u}}=2 \vec{a}+4 \vec{\beta}
Τότε θα ισχύει: |\vec{\mathrm{u}}|=|2 \vec{a}+4 \vec{\beta}|

    \begin{align*} &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=(2 \vec{a}+4 \vec{\beta})^{2}\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=4 \vec{a}^{2}+16 \vec{a} \cdot \vec{\beta}+16 \vec{\beta}^{2}\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=4+16\left(-\frac{1}{2}\right)+16\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}}\rvert^{2}=12\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert =\sqrt{12}\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert =\sqrt{4\cdot 3}\\\\ &\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert = 2\sqrt{3} \end{align*}

Τέλος είναι \vec{\nu}  = \vec{α} - \vec{\beta}
οπότε θα ισχύει: |\vec{\nu}|  = |\vec{α} - \vec{\beta}|

    \begin{align*} &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2} = (\vec{α} - \vec{\beta})^{2}\Rightarrow\\\\  &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2}= \vec{α}^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta}^{2} \Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2}=  1 - 2 (-\frac{1}{2}) + 1 \Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2}=1+1+1 \Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert^{2} = 3\Rightarrow\\\\ &\lvert \vec{\nu} \rvert = \sqrt{3}. \end{align*}

Επομένως είναι:

    \[\sigma \upsilon \nu \varphi = \dfrac{\vec{\mathrm{u}} \cdot \vec{\nu}}{\lvert \vec{\mathrm{u}} \rvert \lvert \vec{\nu} \rvert}\]

    \[\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{-3}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\]

    \[\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{-3}{2\sqrt{3}^{2}}\]

    \[\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{-3}{2\cdot 3}\]

    \[\sigma \upsilon \nu \varphi = -\frac{1}{2}\]

0^{\circ} \leq \phi \leq 180^{\circ}, άρα \varphi = \dfrac{2 \pi}{3}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *