ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

Συντεταγμένες διανύσματος

Καθορισμός διανύσματος \vec{\alpha} ως γραμμίκο συνδυασμό των μοναδιαίων διανυσμάτων \vec{i} και \vec{j}.

Έστω \latintext{Oxy} ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίεπδο και \vec{a} ένα διάνυσμα του επιπέδου. Σχεδιάζουμε το διάνυσμα \overrightarrow{OA} τέτοιο ώστε:

    \[\overrightarrow{OA}=\vec{a}.\quad (1)\]

Αν Α_1 και Α_2 είναι οι προβολές του A στον άξονα x'x και στον άξονα y'y αντίστοιχα, τότε εφαρμόζοντας το νόμο του παραλλήλογράμμου για την πρόσθεση δύο διανυσμάτων στο επίπεδο έχουμε:

    \[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{ΟΑ_1}+\overrightarrow{ΟΑ_2}. \quad (2)\]

Αν (x, y) είναι οι συντεταγμένες του A,
και \vec{i} το μοναδιαίο διάνυσμα επι τον άξονα x'x επειδή το διάνυσμα \overrightarrow{ΟΑ_1} είναι ομμόρροπο του \vec{i} τότε:

    \[\overrightarrow{ΟΑ_1}=\mathrm{x} \cdot \vec{i}. \quad (3)\]

Aντίστοιχα \vec{j} το μοναδιαίο διάνυσμα επι τον άξονα y'y επειδή το διάνυσμα \overrightarrow{ΟΑ_2} είναι ομμόρροπο του \vec{j} τότε:

    \[\overrightarrow{ΟΑ_2}=\mathrm{y} \cdot \vec{j}. \quad (4)\]

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*} (2) \Rightarrow &\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{ΟΑ_1}+\overrightarrow{ΟΑ_2} \xRightarrow[(3)]{(4)}\\\\ &\overrightarrow{OA}= x\cdot \vec{i}+ y\cdot \vec{j} \xRightarrow[]{(1)}\\\\ &\vec{a}= x\cdot \vec{i}+ y\cdot \vec{j} \end{align*}

Απο όπου βλέπουμε ότι το διάνυσμα \vec{a} γράφεται ώς γραμμικός συνδυασμός των \vec{i} και \vec{j}.
Οι πολλαπλασιαστές x, \, y των μοναδιαίων διανυσμάτων \vec{i} και \vec{j} ονομάζονται συντεταγμένες του διανύσματος \vec{a} και γράφουμε:

    \[\vec{a}=(x,y).\]

Ισχύει η εξής
ΠΡΟΤΑΣΗ

Κάθε διάνυσμα \vec{a} του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή

    \[\vec{a}=\mathrm{x} \cdot \vec{i} + \mathrm{y} \cdot \vec{j}\]

δηλαδή ως γραμμικός συνδυασμός των \vec{i} και \vec{j}.
Απόδειξη
Έστω ότι

    \[\vec{a}=\mathrm{x} \cdot \vec{i} + \mathrm{y} \cdot \vec{j}.\]

Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχει και άλλος γραμμικός συνδιασμός των \vec{i} και \vec{j} που ισούται με \vec{a} δηλαδή

    \[\vec{a}=\mathrm{x'} \cdot \vec{i} + \mathrm{y'} \cdot \vec{j}.\]

Τότε έχουμε:

    \begin{align*} &\vec{a}=\vec{a}\\\\ &\mathrm{x'} \cdot \vec{i} + \mathrm{y'} \cdot \vec{j}=x \cdot \vec{i} + \mathrm{y} \cdot \vec{j}\Rightarrow\\\ &(\mathrm{x'-x}) \cdot \vec{i}=(\mathrm{y-y'}) \cdot \vec{j} \end{align*}

Αν \mathrm{x'} \neq \mathrm{x}, τότε \mathrm{x}^{\prime}-\mathrm{x}\neq 0, οπότε:

    \[\vec{\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{y}-\mathrm{y}^{\prime}}{\mathrm{x}^{\prime}-\mathrm{x}} \vec{j},\]

δηλαδή το διάνυσμα \vec{i} είναι το αριθμητικό πολλαπλάσιο του \vec{j} οπότε

    \[\vec{i} \parallel \vec{j},\]

πράγμα που είναι αδύνατο,

αφού τα \vec{i} και \vec{j} είναι κάθετα μεταξύ τους \vec{i} {\Large{\bot} \vec{j}

Αρα \mathrm{x'}=\mathrm{x}, και \mathrm{y'}=\mathrm{y}.

Τελικα καταλήξαμε στο συμπερασμα:

κάθε διάνυσμα \vec{a} του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή

    \[\vec{a}=\mathrm{x} \cdot \vec{i} + \mathrm{y} \cdot \vec{j}\]

δηλαδή ως γραμμικός συνδυασμός των \vec{i} και \vec{j}.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ


1α)
\vec{α}=2 \cdot \vec{i}+3 \cdot \vec{j} \Leftrightarrow \vec{α}=(2, 3).

1β) \vec{\beta}=\vec{j}-\vec{i}\Leftrightarrow \vec{\beta}=-1 \cdot \vec{i}+1 \cdot \vec{j} \Leftrightarrow \vec{\beta}=(-1, 1).


1γ)
\vec{\gamma}=4 \cdot \vec{i} \Leftrightarrow \vec{\gamma}=4 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} \Leftrightarrow \vec{\gamma}= (0, 5).

1δ) \vec{\delta}=-5 \cdot \vec{j} \Leftrightarrow \vec{\delta}=0 \cdot \vec{i}-5 \cdot \vec{j} \Leftrightarrow \vec{\delta}= (0, -5).

2)
Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος που έχει αρχή το Ο (την αρχή των αξόνων) ταυτίζονται με τις συνταταγμένες του πέρατος του διανύσματος.
Δηλαδή:

    \[Α\mathrm{(x, y}) \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} = (\mathrm{x, y}).\]

Αφού είναι Α(5,-2) είναι και \overrightarrow{ΟΑ}=(5,-2).

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *