ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email
Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων

Αν \vec{\alpha}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και \vec{\beta}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2), τότε ισχύουν:

  • \vec{\alpha}+\vec{\beta}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)+(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)=(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2)
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}=\lambda \cdot (\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1, \lambda \cdot \mathrm{y_1}),\lambda \in \mathbb{R}
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}+\mu \cdot \vec{\beta}=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1 + \mu \cdot \mathrm{x}_2, \lambda \cdot \mathrm{y_1}+\mu \cdot \mathrm{y_2}), \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Απόδειξη
Για τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος \vec{\alpha} ισχύουν:

    \begin{align*} &\vec{α}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) \Leftrightarrow\\\\ & \vec{α}=\mathrm{x_1 }\cdot \vec{\mathrm{i}}+\mathrm{y_1 }\cdot \vec{\mathrm{j}} \end{align*}

όπου \vec{\mathrm{i}} και \vec{\mathrm{j}} τα μοναδιαία διανύσματα πάνω στους άξονες x'x και y'y ομοίως και για το τυχαίο διάνυσμα \vec{\beta} θα ισχύουν αναλόγως

    \begin{align*} &\vec{\beta}=(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2) \Leftrightarrow \\\\ &\vec{\beta}=\mathrm{x}_2 \cdot \vec{\mathrm{i}}+\mathrm{y}_2 \cdot \vec{\mathrm{j}} \end{align*}

  • Για το διάνυσμα \vec{α}+\vec{\beta} έχουμε:

        \begin{align*} \vec{α}+\vec{\beta}=&(\mathrm{x}_1 \cdot \vec{\mathrm{i}} + \mathrm{y}_1 \cdot \vec{\mathrm{j}}) + (\mathrm{x}_2 \cdot \vec{\mathrm{i}} + \mathrm{y}_2 \cdot \vec{\mathrm{j}})=\\\\ =& \mathrm{x}_1 \cdot \vec{\mathrm{i}} + \mathrm{y}_1 \cdot \vec{\mathrm{j}} + \mathrm{x}_2 \cdot \vec{\mathrm{i}} + \mathrm{y}_2 \cdot \vec{\mathrm{j}}=\\\\ =& \mathrm{x}_1 \cdot \vec{\mathrm{i}} +\mathrm{x}_2 \cdot \vec{\mathrm{i}}+\mathrm{y}_1 \cdot \vec{\mathrm{j}}+ \mathrm{y}_2 \cdot \vec{\mathrm{j}}=\\\\ =&(\mathrm{x}_1+\mathrm{x_2}) \cdot \vec{\mathrm{i}} + (\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2) \cdot \vec{\mathrm{j}} \end{align*}

    που σημαίνει ότι \vec{α}+\vec{\beta}=(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2).

  • Για το διάνυσμα \lambda \cdot \vec{α} έχουμε:

        \begin{align*} \lambda \cdot \vec{α}=&\lambda \cdot (\mathrm{x}_1 \cdot \vec{\mathrm{i}}+\mathrm{y}_1 \cdot \vec{\mathrm{j}}) = \\\\ =&\lambda \cdot \mathrm{x}_1 \cdot \vec{\mathrm{i}} + \lambda \cdot \mathrm{y}_1 \cdot \vec{\mathrm{j}} \end{align*}

    που σημαίνει ότι \lambda \cdot \vec{α}= (\lambda \cdot \mathrm{x}_1, \lambda \cdot \mathrm{y}_1).

  • Για το διάνυσμα \lambda \cdot \vec{α}+\mu \cdot \vec{\beta} έχουμε:

        \begin{align*} \lambda \cdot \vec{α} + \mu \cdot \vec{\beta}=&\lambda \cdot (\mathrm{x}_1 \, , \, \mathrm{y}_1)+\mu \cdot (\mathrm{x}_2 \, , \, \mathrm{y}_2)=\\\\ =&(\lambda \cdot \mathrm{x}_1, \lambda \cdot \mathrm{y}_1) + (\mu \cdot \mathrm{x}_2\,\, , \,\, \mu \cdot \mathrm{y}_2)=\\\\ =&(\lambda \cdot x_1 + \mu\cdot x_2\,\, , \,\, \lambda \cdot y_1 + \mu \cdot y_2). \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
αi)
Έχουμε:

    \begin{align*} \vec{\gamma}=&2\cdot \vec{\alpha}+5\cdot \vec{\beta}=\\\\ =&2(2,-3)+5(1,-2)=\\\\ =&(4,-6)+(-5,10)=\\\\ =&(4-5\,\, , \,\,-6+10)=\\\\ =&(-1,4) \end{align*}

αii)

    \begin{align*} \vec{\delta}=&\vec{\alpha}-\vec{\beta}=\\\\            =&(2,-3)-(-1,2)=\\\\            =&(2+1,-3-2)=\\\\            =&(3,-5) \end{align*}

β) Για να γράψουμε το διάνυσμα \vec{\nu} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{\gamma} και \vec{\delta}, αρκεί να βρούμε πραγματικούς αριθμούς \lambda και \mu, ώστε:

    \[\vec{\nu}=\lambda \cdot \vec{\gamma}+\mu \cdot \vec{\delta}\]

Όμως είναι \vec{\nu}=(3,2), \vec{\gamma}=(-1,4) και \vec{\delta}=(3,-5), οπότε:

    \begin{align*} &\vec{\nu}=\lambda \cdot \vec{\gamma}+ \mu \cdot \vec{\delta} \Leftrightarrow\\\\ & (3,2)=\lambda \cdot (-1,4) + \mu \cdot (3,-5) \Leftrightarrow \\\\ &(3,2)=(-\lambda\,\, , \, 4 \lambda)+(3  \mu\,\, ,\, -5  \mu) \Leftrightarrow \\\\ &(3,2)=(-\lambda+3  \mu\,\, ,\,\, 4  \lambda -5  \mu) \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{3=-\lambda+3 \mu} \\ {2=4 \lambda-5  \mu}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{-\lambda+3  \mu=3} \\ {4  \lambda-5  \mu=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=3  \mu-3} \\ {4  \lambda-5  \mu=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ & \left\{\begin{array}{c}{\lambda=3  \mu-3} \\ {4 \cdot(3  \mu-3) - 5  \mu=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    \begin{align*} & \left\{\begin{array}{c}{\lambda=3  \mu-3} \\ {12 \mu-12 - 5  \mu=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=3  \mu-3} \\ {7  \mu =14}\end{array}\right\}\Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=3  \mu-3} \\ { \mu =2}\end{array}\right\}\Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=3  \cdot 2-3} \\ { \mu =2}\end{array}\right\}\Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=6-3} \\ { \mu =2}\end{array}\right\}\Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=3} \\ { \mu =2}\end{array}\right\} \end{align*}

Επομένως είναι \vec{\nu}=3 \cdot \vec{\gamma}+2 \cdot \vec{\delta}

     \\\\ \text{\bf{ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ}} \begin{enumerate} \item Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha} = (-1, 2)$ και $\vec{\beta} = (3, 1).$ 	\begin{enumerate} 	\item Να βρείτε τα παρακάτω διανύσματα: 		\begin{enumerate}[i] 		\item $\vec{\nu} = \vec{\alpha} + \vec{\beta},$ 		\item $\vec{\upsilon} = 2\vec{\alpha} - 3\vec{\beta} - \vec{\nu}.$ 		\end{enumerate} 	\item Να βρείτε το διάνυσμα $\vec{x},$ όταν: $2(\vec{\alpha} - \vec{x}) - 3\vec{\beta} = \vec{x} - \vec{\alpha}.$ 	\end{enumerate} \item Δίνονται τα διανύσματα:        $$ \vec{\alpha}=(4,6), \,\, \vec{\beta}= (-3,1)\quad \text{και} \quad \vec{\gamma}=(-1,15)$$      Να γράψεται το διάνυσμα \vec{\gamma} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{\alpha}\\και \vec{\beta}. \item Αν $A(1, -3)$ και $B(-2, 1)$ να βρείτε το διάνυσμα $\nu = 2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB},$ (όπου O η αρχή των αξόνων). \item Αν τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β ως προς το σημείο Ο είναι τα $\vec{\alpha} = (1, -2), ~\vec{\beta} = (-3, 0)$ αντίστοιχα, να βρείτε το διάνυσμα $\vec{\nu} = -3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$  (όπου O η αρχή των αξόνων). \item Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha} = (\kappa - 1, \lambda - 2)$ και $\vec{\beta} = (\lambda, 2\kappa - 1).$ Να βρείτε τα $\kappa, \lambda,$ ώστε: 	\begin{enumerate} 	\item το $\vec{\alpha}$ να είνα το μηδενικό διάνυσμα. 	\item τα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ να είναι ίσα. 	\item τα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ να είναι αντίθετα. 	\end{enumerate} \item Αν $\vec{\nu} = (\alpha - 1, -2), ~\vec{w} = (\beta -2, \alpha),$ να βρείτε τα $\alpha, \beta,$ ώστε: 	\begin{enumerate} 	\item $\vec{\nu} = \vec{w},$ 	\item $3\vec{\nu} - 2\vec{w} = \vec{0}.$ 	\end{enumerate} \item Αν $\vec{\alpha} = (x^2 - 4y, 2z - 3), ~\vec{\beta} = (y^2 + 2x + 5, z),$ να βρείτε τα $x, y, z,$ ώστε τα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ να είναι αντίθετα.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *