ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Σε σύνθετες περιπτωσεις υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx χρησιμοποιούμε το άθροισμα των άκρων στην ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ως εξής:

    \[x = \alpha +\beta - u.\]

οπότε έχουμε:

    \[dx = (\alpha + \beta -u)' du \Rightarrow dx = -du.\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

    \[I = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx.\quad (1)\]

Παρατηρούμε ότι

  • τα άκρα του ορισμένου ολοκληρώματος έχουν άθροισμα ίσο με το μηδέν -1+1=0
  • η εκθετική συνάρτηση έχει την ιδιότητα

        \[e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}\]

  • η συνάρτηση x^{2}, είναι άρτια δηλαδή

        \[x^{2}=(-x)^{2}.\]

Για τον υπολογισμό του παραπάνω ορισμένου ολοκληρώματος εφαρμόζουμε

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θέτουμε

    \[x =1+(-1)-u\Rightarrow x =-u,\]

Οπότε:

    \[(x)'dx =(-u)'du,\Rightarrow dx = -du.\]

επίσης:
για x=1 x =- u\Rightarrow 1 =- u \Rightarrow u= -1.
και
για x=-1 x =- u\Rightarrow 1 =- u \Rightarrow u= 1.

Οπότε:

    \begin{align*} I =& \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx=\\\\\ & -\int_{1}^{-1}\dfrac{(-u)^{2}}{e^{-u}+1}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}}{e^{-u}+1}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}}{\frac{1}{e^{u}}+1}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}}{\dfrac{1+e^{u}}{e^{u}}}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}\cdot e^{u}}{1+e^{u}}\, du. \end{align*}

Ή αλλιως το ολοκλήρωμα I μπορεί ισοδύναμα να γραφεί και ως

    \[I =\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}\, dx. \quad (2)\]

Στη συνέχεια προσθέτουμε κατα μέλη τι σχέσεις (1) και (2) και έχουμε:

    \begin{equation*} \begin{rcases} (1):\, &I = \dint_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx \\\\ (2):\, &I = \dint_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}\, dx \end{rcases} \xRightarrow[]{(+)}$ \end{equation*}

    \begin{align*} I+I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx + \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}\, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1} + \dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{e^{x}+1}\, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}+x^{2}\cdot e^{x}}{e^{x}+1} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}(1+ e^{x})}{e^{x}+1} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cancel{(1+ e^{x})}}{\cancel{e^{x}+1}} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}x^{2} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\Bigg[\dfrac{x^{3}}{3} \Bigg]_{-1}^{1} \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\dfrac{1^{3}}{3} -\Bigg(\dfrac{(-1)^{3}}{3}\Bigg) \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\dfrac{1}{3} -\Bigg(-\dfrac{1}{3}\Bigg) \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    \[2I =\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 2I=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow I = \dfrac{1}{3}.\]

Απο τη σχέση (1) το ζητούμενο ορισμένο ολοκλήρωμα γίνεται:

    \[(1):\,I = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx = \dfrac{1}{3}.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *