ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ

Print Friendly, PDF & Email

Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Οι συντεταγμένες του διανύσματος \overrightarrow{AB} με αρχή το σημείο Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και τέλος (πέρας) το σημείο Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) υπολογίζονται ως εξής:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}})\]

δηλαδή:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1 \, \,, \mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)\]

Απόδειξη
Έστω τα σημεία Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)
οπότε οι αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες
των σημείων A,B θα έιναι:

    \[\overrightarrow{ΟΑ}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) \quad \text{και} \quad \overrightarrow{ΟΒ}= (\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2).\]

Το διάνυσμα \overrightarrow{AB} σημείο αναφοράς το O(0,0) γράφεται:

    \[\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{ΟΒ} - \overrightarrow{ΟΑ}\]

Είναι \overrightarrow{ΟA}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και \overrightarrow{ΟΒ}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2).
οπότε:

    \[\overrightarrow{AB}= (\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) -(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)\]

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1).\]

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}})\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α.) Απο υπόθεση Α(3,-4) και B(7,2) οπότε έχουμε:

    \begin{align*} \overrightarrow{AB}&=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}})\\\\ &{\text{οπότε}}\\\\ \overrightarrow{AB}&=(\mathrm{x_B-x_A},\mathrm{ y_B-y_A})=\\\\ &=\Big(7-3\,\, , \,\, 2- (-4)\Big)=(4,6) \end{align*}

β.) Έχουμε:

    \[\overrightarrow{Α\Gamma}=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}}) \Leftrightarrow\]

    \begin{align*} \overrightarrow{Α\Gamma}&=(\mathrm{x_{\Gamma}-x_A, y_{\Gamma}-y_A}) \Leftrightarrow \\\\ (-2,1)&=(\mathrm{x_{\Gamma}-3,y_{\Gamma}+4}) \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x_{\Gamma}}-3=-2} \\ &{\mathrm{y_{\Gamma}}+4=1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x_{\Gamma}}=1} \\ {\mathrm{y_{\Gamma}}=-3}\end{array}\right\} \end{align*}

Επομένως είναι \Gamma(1,-3).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

  1. Έστω το σημείο Α(-1, 2). Να βρείτε:
    1. το διάνυσμα \overrightarrow{AB}, όταν Β(-3, 0),
    2. το Γ, όταν \overrightarrow{Α\Gamma} = (-3, -5),
    3. το Δ, όταν 2\overrightarrow{A\Delta} - 3\overrightarrow{\Delta E} = \vec{0} και E(3, -1).
  2. Nα βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ, αν Α(-2, 1), Β(3, -2) και ισχύει

        \[2\overrightarrow{AM} - 3\overrightarrow{BM} = \vec{0}\]

  3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-2, 0), Β(1, -3) και Γ(2, 1). Αν για το σημείο M(x_M , y_M) ισχύει \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} και ΑΔ διάμεσος του τριγώνου, να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανυεματος \overrightarrow{M\Delta}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *