ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής

    \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx\]

όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • θέτουμε u =f^{-1}(x)\Rightarrow   f(u) = x, οπότε f'(u)du = dx
  • Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:

  • για x=\alpha έχουμε: f(u) = \alpha \Leftrightarrow f(u) = f(\gamma)\Leftrightarrow u = \gamma.
  • για x=\beta έχουμε: f(u) = \beta \Leftrightarrow f(u) = f(\delta)\Leftrightarrow u = \delta.
  •     \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du\]

    Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Λύση
    1.) Η συνάρτηση f=e^{x}+x^{3} είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της A_{f} = \rr και παραγωγίσιμη σε αυτό μεf'(x) = e^{x}+3x^{2}>0, από συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής έχουμε για κάθε x\in \rr ισχύει ότι f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

    Το σύνολο τιμών της θα είναι f(A) = f(\rr)= \Big(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x) ,\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)\Big).

    Υπολογίζουμε τα όρια:

    \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(e^{x}+x^{3}) =0 -\infty =-\infty.

    \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^{x}+x^{3}) =+\infty.

    Επομένως f(A) = (-\infty,+\infty) = \rr.

    Τελικά η συναρτηση f ως γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1 αρα και αντιστρέψιμη και επειδη έχει σύνολο τιμών το \rr το πεδίο ορισμού της αντιστρόφου είναι το

        \[A_{f^{-1}}=\rr.\]

    2.)Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

        \[\int_{1}^{e + 1} f^{-1}(x)\,\, dx.\]

    Θέτουμε

        \[u =f^{-1}(x)\Rightarrow   f(u) = x,\]

    Οπότε:

        \[\Bigg(f(u)\Bigg)'du =( x)'dx\Rightarrow f'(u)du = dx.\]

    επίσης:
    για x=1
    και

        \begin{align*} &f^{-1}(x) =u \Rightarrow \\ &f^{-1}(1) =u \Rightarrow \\ &f\Big(f^{-1}(1)\Big) =f(u) \Rightarrow \\ &1 = f(u) \Rightarrow \\ &\big({\text{ επειδή}}\quad f(0) = e^{0}+0^{3} =e^{0} =1\big)\\ &f(0) = f(u) \Rightarrow \\ &\big({\text{ επειδή}} \quad f : 1-1\big)\\ & 0 =u \quad \\ & u = 0. \end{align*}

    επίσης για
    x=e+1

        \begin{align*} &f^{-1}(x) =u \Rightarrow \\ &f^{-1}(e+1) =u \Rightarrow \\ &f\Big(f^{-1}(e+1)\Big)=f(u)\Rightarrow \\ &e+1 = f(u) \Rightarrow \\ &\big({\text{ επειδή}}\quad f(1) = e^{1}+1^{3} =e+1\big)\\ &f(1) = f(u) \Rightarrow \\ &\big({\text{ επειδή}} \quad f : 1-1\big)\\ & 1 =u \quad \\ & u = 1. \end{align*}

    Οπότε:

        \begin{align*} & \int_{1}^{e + 1} f^{-1}(x)\,\, dx=\\\\\ &  \int_{0}^{1} u \, f'(u)\, du=\\\\\  \end{align*}

    (με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης)

        \begin{align*} &  \Big [ u \,f(u)\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(u)'f( u)\, du=\\\\\ &  \Big [ 1\,f(1) - 0\cdot f(0)\Big]-\int_{0}^{1}1\cdot f( u)\, du=\\\\\ &  f(1) -\int_{0}^{1} f( u)\, du=\\\\\ &  e^{1}+1^{3} -\int_{0}^{1} e^{u}+u^{3}\, du=\\\\\ &  e+1 -\Bigg [ e^{u}+\dfrac{u^{4}}{4}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\\ &  e+1 -\Big [ (e^{1}+\dfrac{1^{4}}{4})- \big(e^{0}+\dfrac{0^{4}}{4}\big)\Big]=\\\\\ &  e+1 -\Big [ e+\dfrac{1}{4}- \big(1+ 0\big)\Big]=\\\\\ &  e+1 - e-\dfrac{1}{4}+1- 0=\\\\\ &  1 -\dfrac{1}{4}+1= \dfrac{7}{4}.\\\\\  \end{align*}

    Οπότε:

        \begin{align*}   (1.)\Rightarrow & \int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx+\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx\Rightarrow  \\\\ &\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= 2 \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx \end{align*}

        \begin{align*} & \int_{\alpha}^{\alpha + T} f(x)\, dx=\\\\\ &  \int_{\alpha}^{ T}f(x)\, dx+\int_{T}^{\alpha + T} f(x)\, dx =\\ &{\text{ από παράδειγμα.1. έχουμε:}}\\ &  \int_{\alpha}^{ T}f(x)\, dx + \int_{0}^{\alpha}f( u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx +  \int_{\alpha}^{ T}f(x)\, dx =\int_{0}^{ T}f(x)\, dx.  \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *