ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

   \textbf{Γωνία διανύσματος με τον άξονα $\textbf{\latintext{x'x}}$}\\ Έστω $\vec{α}=(\mathrm{x,y})$ ένα \textbf{μη μηδενικό} διάνυσμα και σημείο $Α$ τέτοιο, ώστε $\overrightarrow{OA}=\vec{α}.$ Η γωνία $\omega$ που διαγράφει ο ημιάξονας $Ox$ όταν περιστραφεί γύρω από το $O$ κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία $OA$ για πρώτη φορά, ονομάζεται \textbf{γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $\vec{\boldsymbol{α}}$ με τον άξονα} $\boldsymbol{x'x}.$\\ Από τον ορισμό της γωνίας $\omega$ διανύσματος με τον άξονα $x'x$ προκύπτει ότι: \begin{center} $0 \leq \omega \leq \pi$ \end{center}


 \text{Επίσης από την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι όταν } x $\neq 0,$ τότε ισχύει: \begin{center} $\epsilon \phi \omega=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$\\ \end{center} \textbf{Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος}\\ Θεωρούμε ένα διάνυσμα $\vec{α}=(\mathrm{x},\mathrm{y})$ με $x \neq 0.$ Το πηλίκο $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$ της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος $\vec{α},$ το ονομάζουμε \textbf{συντελεστή διεύθυνσης} του $\vec{α}$ και το συμβολίζουμε με $\lambda_{\vec{α}}$ ή απλά $\lambda.$ Είναι δηλαδή: \begin{center} $\lambda=\frac{y}{x}=\epsilon \phi \omega, \quad \mathrm{x} \neq 0$ \end{center} όπου $\omega$ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $\vec{α}$ με τον άξονα $x'x.$ \begin{itemize} \item Αν $\mathrm{y}=0$ (και $\mathrm{x} \neq 0$), δηλαδή $\vec{α} \parallel x'x,$ είναι $\lambda = 0.$ \item Αν $\mathrm{x}=0,$ δηλαδή $\vec{α} \parallel y'y$ ή $\vec{α} \perp x'x,$ τότε \textbf{δεν ορίζεται} ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος $\vec{α}.$\\ \end{itemize} \textbf{Συνθήκη παραλληλίας}\\ Αν $\vec{α}$ και $\vec{β}$ είναι δύο διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης $\lambda_1$ και $\lambda_2$ αντίστοιχα, τότε ισχύει η ισοδυναμία: \begin{center} $\vec{α} \parallel \vec{β} \Leftrightarrow \lambda_1 = \lambda_2$\\ \end{center} \textbf{Απόδειξη}\\ Έστω $\vec{α}=(\mathrm{x_1}, \mathrm{y_1})$ και $\vec{β}=(\mathrm{x_2}, \mathrm{y_2})$ με $\mathrm{x_1}, \mathrm{x_2} \neq 0.$ Τότε είναι $\lambda_1=\frac{\mathrm{y_1}}{\mathrm{x_1}}$ και $\lambda_2=\frac{\mathrm{y_2}}{\mathrm{x_2}}.$ Έχουμε:\\ \begin{center} $\vec{α} \parallel \vec{β} \Leftrightarrow det(\vec{α}, \vec{β})=0 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{ll}{\mathrm{x_1}} & {\mathrm{y_1}} \\ {\mathrm{x_2}} & {\mathrm{y_2}}\end{array}\right|=0 \Leftrightarrow$\\ $\Leftrightarrow \mathrm{x_1} \mathrm{y_2} - \mathrm{y_1} \mathrm{x_2}=0 \Leftrightarrow \mathrm{x_1} \mathrm{x_2}=\mathrm{x_2} \mathrm{y_1} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{y_1}}{\mathrm{x_1}}=\frac{\mathrm{y_2}}{\mathrm{x_2}} \Leftrightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}$ \end{center}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *