ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

Print Friendly, PDF & Email

  • Έστω \vec{\nu}=(\mathrm{x},\mathrm{y}) ένα διάνυσμα με \mathrm{x}, \mathrm{y} \neq 0. Για να βρούμε τη γωνία \omega που σχηματίζει το \vec{\nu} με τον άξονα x'x, εργαζόμαστε ως εξής:
  • Βρίσκουμε την \epsilon\phi\omega=\dfrac{y}{x}.
    Εντοπίζουμε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της \omega.

      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}>0, τότε 0 < \omega < \frac{\pi}{2}
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}>0, τότε \frac{\pi}{2} < \omega < \pi
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}<0, τότε \pi < \omega < \frac{3\pi}{2}
      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}<0, τότε \frac{3\pi}{2} < \omega < 2\pi
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(\mathrm{x},0) είναι παράλληλο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
    • 0, αν \mathrm{x}>0
      \pi, αν \mathrm{x}<0
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(0,\mathrm{y}) είναι κάθετο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
    • \frac{\pi}{2}, αν \mathrm{y}>0
      \frac{3\pi}{2}, αν \mathrm{y}<0

     \\\\ \textbf{Παράδειγμα}\\ \textbf{Δίνονται τα διανύσματα} \,\, $\vec{\textbf{α}}=\textbf{(μ, μ+2)},$ \textbf{με μ} $\in \mathbb{R},$ \textbf{και} $\vec{\textbf{β}}=\textbf{(6,8)}.$\\ \textbf{a) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος} $\vec{\textbf{β}}.$\\ \textbf{b) Αν το διάνυσμα} $\vec{\textbf{α}}$ \textbf{έχει συντελεστή διεύθυνσης} $\boldsymbol{\lambda_{\vec{α}}=\frac{3}{2}},$ \textbf{να βρείτε:}\\ \textbf{1) τον αριθμό μ,}\\ \textbf{2) τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα} $\vec{\textbf{γ}}=\vec{\textbf{α}}-\vec{\textbf{β}}$ \textbf{με τον άξονα} $\textbf{\latintext{x'x}}.$\\ \textbf{3) τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα} $\vec{\textbf{δ}}=-\textbf{7}\vec{\textbf{α}}+\textbf{5}\vec{\textbf{β}}$ \textbf{με τον άξονα} $\textbf{\latintext{x'x}}.$\\ \noindent \textbf{Λύση}
    α.)
    Είναι \vec{\beta}={(6,8)}. οπότε

        \[\lambda_{\vec{\beta}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.\]

    β.1)
    Έχουμε: \vec{\alpha}=(\mu, \mu+2),

        \[\lambda_{\vec{\alpha}}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{\mu+2}{\mu}=\frac{3}{2}\]

        \[\Leftrightarrow 2(\mu+2)=3\mu \Leftrightarrow 2\mu+4=3\mu \Leftrightarrow \mu=4\]

    β.2)

    Για \mu=4 το διάνυσμα \vec{\alpha}=(\mu, \mu+2) γίνεται:

        \[\vec{\alpha}=(4,6)\]

    Επομένως είναι:

        \[\vec{\gamma}=\vec{\alpha}-\vec{\beta}=(4,6)-(6,8)=(-2,-2)\]

    `Εστω \omega η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \vec{\gamma}=(-2,-2) με τον άξονα x'x.
    Ισχύει ότι:

        \[\epsilon\phi\omega=\lambda_{\vec{\gamma}}=\dfrac{y}{x}=\frac{-2}{-2}=1\]

    `Ομως είναι \mathrm{x}=-2 < 0 και \mathrm{y}=-2 < 0, άρα \pi < \omega < \frac{3\pi}{2}.
    Επομένως είναι:

        \[\omega = \pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\]

    β.3)
    Ισχύει ότι:

        \begin{align*} \vec{\delta}=&-7\vec{\alpha}+5\vec{\beta}\\\\ =&-7(4,6)+5(6,8)\\\\ =&(-28,-42)+(30,40)\\\\ =&(-28+30,-42+40)\\\\ =&(2,-2). \end{align*}

    Έστω \varphi η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \vec{\delta}=(2,-2) με τον άξονα x'x.
    Ισχύει ότι:

        \[\epsilon\phi\,\varphi = \frac{-2}{2} = -1\]

    Όμως είναι \mathrm{x}=2 > 0 και \mathrm{y} = -2 < 0, άρα

        \[\frac{3\pi}{2} < \varphi < 2\pi.\]

    Επομένως είναι:

        \[\varphi = 2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}\]


    ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
    1.)Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης (αν ορίζεται) του διανύσματος \overrightarrow{AB} στις παρακάτω περιπτώσεις:

    i.) A(-1, 3), B(2, -3)
    ii.) A(3, 1), B(-5, 1)
    iii.) A(-2, 3), B(-2, 7)

    2.) Αν \varphi η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \vec{\alpha} με τον άξονα x'x, να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος \vec{\alpha} στις παρακάτω περιπτώσεις:

    i.) \varphi = \dfrac{\pi}{6}
    ii.) \varphi = 120^{\circ}
    iii.)\varphi = \dfrac{3\pi}{4}
    iv.) \varphi = 0

    3.) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \overrightarrow{AB} με τον άξονα x'x σε κάθε περίπτωση αν:

    i.) A(3, 0), A(0, \sqrt{3})
    ii.) A(1, 5), B(-2, 5)
    iii.) A(3, -2), B(3, 2)

    4.) Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \overrightarrow{AB} με τον άξονα x'x, αν:

    i.) A(2, 1), B(1, 1 + \sqrt{3})
    ii.) A(0, 3), B(2, 3)
    iii.) A(3, -4), B(3, -6)

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα. Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *