ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Η f(x)=x^3-3x έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με:

    \[f'(x)=3x^2-3\]

Έχουμε:

    \begin{align*} 											&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 											&3x^2-3=0 \Leftrightarrow\\ 											&x^2-1=0 \Leftrightarrow\\ 											&x^2=1 \Leftrightarrow\\ 											&x=\pm 1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \begin{align*}	 \small{ \begin{tabular}{r l c c c  c c r} \hline  \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $}          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 1$     &               & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}}   						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 3x^2-3 $}		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		&  $ -$  & $ 0$     & $ +$          &		 \multicolumn{1}{r|}{}						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'$}		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		&  $ -$  & $ 0$     & $ +$          &		 \multicolumn{1}{r|}{}						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f $}		 &	             & $ \nearrowtail$	 &$ |$	        &  $ \searrowtail$  &$ | $     & $ \nearrowtail$	    &	\multicolumn{1}{r|}{}		\\ \hline 	  % &		     &	                          &T.M.        &               & T.E.    &                        &\\ % 	%	 &		     &	                 &$f(-1)=2$        &               & $f(1)=-2    &                        & \end{tabular}} \end{align*}

Τελικά για την συνάρτηση f έχουμε:

    1. f συνεχής στο (-\infty , -1] και
      f'(x)>0 στο (-\infty ,-1) άρα η
      f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty ,-1].
    1. f συνεχής στο [-1 , 1] και
      f'(x)<0 στο (-1 ,1) άρα η
      f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1 ,1].
    1. f συνεχής στο [1 , +\infty) και
      f'(x)>0 στο (1 , +\infty) άρα η
      f είναι γνησίως αύξουσα στο [1 , +\infty).

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

2 απαντήσεις στο “ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *