ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Η συνάρτηση f:[-\alpha,\alpha] \to \rr είναι άρτια
επομένως ισχύει για κάθε x\in [-\alpha,\alpha]

    \[f(-x)=f(x)\]

Έχουμε:

    \[\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= \int_{-\alpha}^{0} f(x)\, dx +\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx. \quad (1.)\]

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

    \[I=\int_{-\alpha}^{0}f(x)\, dx.\]

Θέτουμε

    \[-x=u \Rightarrow x=-u.\]

Οπότε:

    \begin{align*} (x)'\, dx &=(- u)' \, du \Rightarrow\\  dx &=-du. \end{align*}

για x=-\alpha και x=-u \Rightarrow  -\alpha =- u \Rightarrow u= \alpha.
και
για x=0 και x=-u \Rightarrow  0 = - u \Rightarrow u= 0.

Οπότε:

    \begin{align*} & \int_{-\alpha}^{0}f(x)\, dx=\\\\\ &  \int_{\alpha}^{0}-f(-u)\, du=\\\\\ &  -\int_{\alpha}^{0}f(-u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha}f(-u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha}f(u)\, du=\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx.  \end{align*}

Οπότε:

    \begin{align*}   (1.)\Rightarrow & \int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx+\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx\Rightarrow  \\\\ &\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= 2 \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *