ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΗ ΚΟΙΝΟ ΤΟΥΣ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Έστω η ευθεια (\epsilon):y =\lambda x +\beta η κοινη εφαπτομενη των C_{f} και C_{g} στα σημεία A(x_1,f(x_{1})) και B(x_{2},g(x_{2})) αντίστοιχα.

Τότε για τον συντελεστή διεύθυνσης (κλίση ) της ευθείας θα ισχύει: \lambda_{\epsilon}=f'(x_{1}) και \lambda_{\epsilon}=g'(x_{2})
οπότε παίρνουμε:

    \[f'(x_{1})=g'(x_{2}).\]

Επισης για το σημείο A( x_{1},f(x_{1})) της C_{f} έχουμε οτι ανήκει και στην ευθεία (\epsilon) οπότε

    \begin{align*} A( x_{1},f(x_{1})) \in (\epsilon): y & =\lambda x +\beta \Rightarrow \\\\                     f(x_{1}) & = \lambda x_{1} + \beta \xRightarrow[\text{}]{\lambda =f'(x_{1})} \\\\                     f(x_{1}) & = f'(x_{1})\cdot x_{1} + \beta \quad (1) \end{align*}

Aλλά και το σημείο B( x_{2},g(x_{2})) της C_{g} έχουμε οτι ανήκει και στην ευθεία (\epsilon) οπότε

    \begin{align*} B( x_{2},g(x_{2})) \in (\epsilon): y & =\lambda x +\beta \Rightarrow \\\\                                    g(x_{2}) & = \lambda x_{2} + \beta \xRightarrow[\text{}]{\lambda =g'(x_{2})} \\\\                                    g(x_{2}) & = g'(x_{2})\cdot x_{2} + \beta \Rightarrow \\                                    g(x_{2}) & -g'(x_{2})\cdot x_{2}  =  \beta\Rightarrow \\                                    \beta  & =g(x_{2})  -g'(x_{2})\cdot x_{2} \quad (2) \end{align*}

Αντικαθιστώντας το \beta στην σχέση (1) έχουμε:

    \begin{align*} (1)\xRightarrow[\text{}]{(2)}f(x_{1}) = & f'(x_{1})\cdot x_{1} + g(x_{2})  -g'(x_{2})\cdot x_{2}\Rightarrow\\\\                              f(x_{1})-&f'(x_{1})\cdot x_{1} =   g(x_{2})  -g'(x_{2})\cdot x_{2} \Rightarrow\\\\                               f'(x_{1})&\cdot x_{1}-f(x_{1}) = g'(x_{2})\cdot x_{2}-  g(x_{2}).  \end{align*}

Ανακεφαλαιώνοντας:
Για να βρούμε την κοινη εφαπτομενη των C_{f} και C_{g}, δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g:A\to \rr, στα σημεία A(x_1,f(x_{1})) και B(x_{2},g(x_{2})).
Θα πρέπει:

    \[f'(x_{1})=g'(x_{2}).\]

    \[f'(x_{1})&\cdot x_{1}-f(x_{1}) = g'(x_{2})\cdot x_{2}-  g(x_{2}).\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Οι συναρτήσεις f(x)= x^{2}+1 και g(x)=2x^{2}+2x , είναι παραγωγίσιμες στο \rr, με f'(x)=2x και g'(x)= 4x+2, αντίστοιχα.
Για να βρούμε την κοινη εφαπτομενη των C_{f} και C_{g},
θα πρέπει:

    \[f'(x_{1})=g'(x_{2} )\Rightarrow 2x_{1}=4x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=2x_{2}+1\quad  (1).\]

και

    \begin{align*} &f'(x_{1})\cdot x_{1}-f(x_{1}) = g'(x_{2})\cdot x_{2}-  g(x_{2})\Rightarrow\\\\ &2x_{1}\cdot x_{1}-(x_{1}^{2}+1) =(4x_{2}+2)\cdot x_{2}-(2x_{2}^{2}+2x_{2}) \Rightarrow\\\\ &2x_{1}^{2}-x_{1}^{2}-1=4x_{2}^{2}+2x_{2}-2x_{2}^{2}-2x_{2} \Rightarrow\\\\ &x_{1}^{2}-1=2x_{2}^{2}\xRightarrow[\text{}]{(1)} \\\\ &(2x_{2}+1)^{2}-1=2x_{2}^{2}\Rightarrow\\\\ &4x_{2}^{2}+4x_{2}+1-1=2x_{2}^{2}\Rightarrow\\\\ &4x_{2}^{2}+4x_{2}=2x_{2}^{2}\Rightarrow\\\\ &4x_{2}^{2}+4x_{2}-2x_{2}^{2}=0\Rightarrow\\\\ &2x_{2}^{2}+4x_{2}=0\Rightarrow\\\\ &2x_{2}\cdot(x_{2}+2)=0\Rightarrow\begin{cases}   x_{2}=0\\ \quad \text{ή} \\    x_{2}=-2   \end{cases} \end{align*}

Για την έυρεση του x_{1} διακρίνουμε δύο περιπτώσεις έχουμε:
Περίπτωση.1
Για x_{2}=0
(1): x_{1}= 2\cdot x_{2}+1\Rightarrow x_{1}= 2\cdot 0 +1 \Rightarrow x_{1}=1.
Επιπλέον:
Επειδη A(x_{1},f(x_{1})) τότε A(1,f(1))
με f(x)= x^{2}+1\xRightarrow[\text{}]{x_{1} =1} f(1) = 1^{2}+1 \Rightarrow f(1) =2.
άρα Α(1,1)

Επίσης
Επειδή B(x_{2},g(x_{2})) \text { για } \quad x_{2} =0 έχουμε B(0, g(0))
με g(x)= 2x^{2}+2x\xRightarrow[\text{}]{x_{2} = 0} g(0) = 2\cdot 0^{2}+2\cdot 0 \Rightarrow g(0) =0.
δηλαδή η C_g για x_{2} =0 διέρχται από την αρχή τον αξόνων O(0,0)
Εύκολα βλέπουμε ότι η C_{f} στο σημείο της A(1,1) έχει κοινή εφαπτομένη με την C_{g} στο σημειο της O(0,0)
αφού:

    \begin{align*} & (\epsilon): y -f(1) =f'(1)(x-1) \\ &\text{με} \quad f'(x) = 2x \xRightarrow[\text{}]{x = 1} f'(1)= 2\quad \text {οπότε} \\ & (\epsilon): y -2 =2 (x-1)\Rightarrow \\ & (\epsilon): y-2= 2x-2\Rightarrow \\ & (\epsilon): y= 2x-2+2\Rightarrow \\ & (\epsilon): y=2x. \end{align*}

επίσης

    \begin{align*} & (\epsilon): y -g(0) =g'(0)(x-1) \\ &\text{με} \quad g'(x) = 4x+2 \xRightarrow[\text{}]{x = 0} g'(0)= 2\quad \text {οπότε} \\ & (\epsilon): y -0 =2 (x-0)\Rightarrow \\ & (\epsilon): y=2x. \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Περίπτωση.2 Για x_{2}=-2
(1): x_{1}= 2\cdot x_{2}+1\Rightarrow x_{1}= 2\cdot (-2) +1 \Rightarrow x_{1}=-3.
Επιπλέον:
Επειδη \Gamma(x_{1},f(x_{1})) τότε \Gamma(-3,f(-3))
με f(x)= x^{2}+1\xRightarrow[\text{}]{x_{1} =-3} f(-3) = (-3)^{2}+1 \Rightarrow f(-3) =10.
άρα \Gamma(-3,10)

Επίσης
Επειδή \Delta(x_{2},g(x_{2})) \text { για } \quad x_{2} =-2 έχουμε \Delta(-2, g(-2))
με g(x)= 2x^{2}+2x\xRightarrow[\text{}]{x_{2} = -2} g(-2) = 2\cdot (-2)^{2}+2\cdot (-2) \Rightarrow

g(-2) =2\cdot 4 +2\cdot (-2)\Rightarrow g(-2) =8 -4\Rightarrow g(-2)=4.

άρα \Delta(-2,4)

Επιπλέον f'(x) = 2x \xRightarrow[\text{}]{x = -3} f'(-3)= -6
και g'(x) = 4x+2 \xRightarrow[\text{}]{x = -2} g'(-2)= 4\cdot(-2) +2 \Rightarrow g'(-2)=-6.

Εύκολα βλέπουμε ότι η C_{f} στο σημείο της \Gamma(-3,10) έχει κοινή εφαπτομένη με την C_{g} στο σημειο της \Delta(-2,4)
αφού:

    \begin{align*} & (\eta): y -f( -3) =f'( -3)(x +3) \\ &\text{με} \quad f'(x) = 2x \xRightarrow[\text{}]{x =  -3} f'( -3)= -6, \\ &\quad \text {οπότε:}\\ & (\eta): y -10 =-6 (x+3)\Rightarrow \\ & (\eta): y-10= -6x-18\Rightarrow \\ & (\eta):  y= -6x-18+10\Rightarrow \\ & (\eta):  y= -6x-8. \end{align*}

επίσης

    \begin{align*} & (\eta): y -g(-2) =g'(-2)(x+2) \\ &\text{με} \quad g'(x) = 4x+2 \xRightarrow[\text{}]{x = -2} g'(-2)= 4\cdot(-2)+2\Rightarrow  \\ &g'(-2)=-6,\quad \text {οπότε:}\\ & (\eta): y -4 =-6 (x+2)\Rightarrow \\ & (\eta): y-4=-6x-12\Rightarrow \\ & (\eta): y=-6x-12+4\Rightarrow \\ & (\eta):  y= -6x-8. \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Μπάρλας, αυτόεκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *