ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Να λυθεί το ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

Λύση

Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

Θέτουμε \hm x =u.
Οπότε:

    \begin{align*} &\Big( \hm x\Big)'\, dx =(u)' \, du \Rightarrow\\\\ &\syn x \, dx = du. \end{align*}

Επιπλέον ισχύουν:

για x=0 και \hm x =u\Rightarrow  \hm 0 =u\Rightarrow u= 0.
και
για x=\dfrac{\pi}{2} και \hm x =u\Rightarrow  \hm  \dfrac{\pi}{2} =u\Rightarrow u=1.

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

    \begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx=\\\\ & \int_{0}^{1} e^{u}\cdot u^{2}  \, du.\\\\\ \end{align*}

Για το παραπάνω ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: γινόμενο εκθετικής επι πολυωνυμικής.

    \begin{align*} & \int_{0}^{1} e^{u}\cdot u^{2}  \, du=\\\\ & \int_{0}^{1}\big( e^{u}\big)'\cdot u^{2}  \, du=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} e^{u}\cdot\big( u^{2} \big)' \, du=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} e^{u}\cdot 2 u \, du=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\big( e^{u}\big)'\cdot 2 u \, du=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\Bigg\{\Big[e^{u}\cdot 2u\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} e^{u}\cdot\big( 2 u\big)' \, du\Bigg\}=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\Big[e^{u}\cdot 2u\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} e^{u}\cdot 2  \, du=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\Big[e^{u}\cdot 2u\Big]_{0}^{1} +2\cdot\int_{0}^{1} e^{u}\, du=\\\\ &\Big[e^{u}\cdot u^{2}\Big]_{0}^{1} -\Big[e^{u}\cdot 2u\Big]_{0}^{1} +2\cdot\Big[ e^{u}\Big]_{0}^{1}=\\\\ &\Big(e^{1}\cdot 1^{2}-e^{0}\cdot 0^{2}\Big) -\Big(e^{1}\cdot 2\cdot1 -e^{0}\cdot 2\cdot 0\Big) +2\cdot\Big( e^{1}-e^{0}\Big )=\\\\ &\Big(e- 0\Big) -\Big(2\cdot e - 0\Big) +2\cdot\Big( e-1\Big )=\\\\ & e-2e+2e-2=e-2. \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να λυθεί το ολοκλήρωμα:

    \[\int_{1}^{\frac{\pi^{2}+4}{4}} \syn \sqrt{x-1} \, dx.\]

Λύση

Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{1}^{\frac{\pi^{2}+4}{4}} \syn \sqrt{x-1} \, dx.\]

Θέτουμε \sqrt{x-1} =u.
Οπότε:

    \begin{align*} &\Big( \sqrt{x-1}\Big)'\, dx =(u)' \, du \Rightarrow\\\\ &\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x-1}}\cdot (x-1)' \, dx = du \Rightarrow\\\\ &\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x-1}} \, dx = du\Rightarrow\\\\ &\dfrac{1}{2u} \, dx = du\Rightarrow\\\\ & dx = 2u\,du\Rightarrow\\\\ \end{align*}

Επιπλέον ισχύουν:

για x=1 και \sqrt{x-1} =u\Rightarrow  \sqrt{1-1} =u\Rightarrow u= 0.
και
για x= \dfrac{\pi^{2}+4}{4} και \sqrt{x-1} =u\Rightarrow \sqrt{\dfrac{\pi^{2}+4}{4}-1} =u\Rightarrow

\Rightarrow  \sqrt{\dfrac{\pi^{2}}{4}+\dfrac{4}{4}-1} =u\Rightarrow  \sqrt{\dfrac{\pi^{2}}{4}+1-1} =u\Rightarrow

\Rightarrow \sqrt{\dfrac{\pi^{2}}{4}} =u\Rightarrow u = \dfrac{\pi}{2}.

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

    \begin{align*} &\int_{0}^{\frac{\pi^{2}+4}{4}} \syn \sqrt{x-1} \, dx=\\\\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \syn u \cdot  2u\,du\\\\\ \end{align*}

Για το παραπάνω ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης, τριγωνομετρική επι πολυωνυμική

Έχουμε:

    \begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \syn u \cdot  2u\,du = \\\\\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\hm u)' \cdot  2u\,du = \\\\\ &\Big[\hm u \cdot  2u\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\hm u \cdot ( 2u )'\, du=\\\\ &\Big[\hm u \cdot  2u\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  2 \cdot\hm u \, du=\\\\ &\Big[\hm u \cdot  2u\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -2 \cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  (-\syn u)'\, du=\\\\ &\Big[\hm u \cdot  2u\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} +2 \cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  (\syn u)'\, du=\\\\ &\Bigg[\big(\hm \frac{\pi}{2} \cdot  2\cdot\frac{\pi}{2}\big)-\big(\hm 0\cdot  2\cdot 0\big)\Bigg] +2 \cdot\Bigg[\big(\syn \frac{\pi}{2}\big) -\big(\syn 0\big)\Bigg] =\\\\ &\Bigg[\big(1 \cdot \pi \big)-\big(0)\Bigg] +2 \cdot\Bigg[\big(0\big) -\big(1\big)\Bigg] =\pi -2.\\\\ \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

2 απαντήσεις στο “ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ”

  1. Αξιότιμε κύριε Παπαδάκη,
    το σχόλιο σας είναι πολύ σημαντικό και αναγκαίο. Ωστόσο δεν μπορεσα να εντοπίσω το αριθμητικό λάθος που υποδεικνύετε. Εαν σας είναι εύκολο να γίνετε πιο συγκεκριμένος για την άμεση διόρθωση του σφάλματος.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *