ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

Λύση

Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

Θέτουμε \hm x=u.

Οπότε:

    \begin{align*} &(\hm x)'\, dx =(u)' \, du \Rightarrow\\ & \syn x\, dx = du.  \end{align*}

Επιπλέον ισχύουν:

για x= 0 και \hm x=u\Rightarrow  \hm 0=u\Rightarrow u= 0.
και
για x=\frac{\pi}{2} και \hm x=u\Rightarrow  \hm \frac{\pi}{2}=u\Rightarrow u=1.

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

    \begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx=\\\\  & \int_{0}^{1} e^{u} \, du=\\\\  & \Big[ e^{u}\Big]_{0}^{1}= e^{1}- e^{0}=e-1. \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

    \[\int_{e}^{e^{2}} \dfrac{\ln^{2}x -3\ln x +2}{x\cdot \ln x} \, dx.\]

Λύση

Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{e}^{e^{2}} \dfrac{\ln^{2}x -3\ln x +2}{x\cdot \ln x} \, dx.\]

Θέτουμε \ln x=u.
Οπότε:

    \begin{align*} &(\ln x)'\, dx =(u)' \, du \Rightarrow\\ & \dfrac{1}{x}\, dx = du.  \end{align*}

Επιπλέον ισχύουν:

για x= e και \ln x=u\Rightarrow  \ln 1=u\Rightarrow u= 0.
και
για x=e^{2} και \ln x =u\Rightarrow \ln e^{2}=u\Rightarrow 2\cdot \ln =u\Rightarrow u=2.

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

    \begin{align*} & \int_{e}^{e^{2}} \dfrac{\ln^{2}x -3\ln x +2}{x\cdot \ln x} \, dx=\\\\  &\int_{e}^{e^{2}} \dfrac{\ln^{2}x -3\ln x +2}{ \ln x}\cdot \dfrac{1}{x} \, dx=\\\\   &\int_{1}^{2} \dfrac{u^{2}-3u +2}{ u} \, du=\\\\  &\int_{1}^{2} \dfrac{u^{2}}{ u}-\dfrac{3u}{ u} +\dfrac{2}{ u} \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} u-3 +2\cdot\dfrac{1}{ u} \, du=\\\\ \end{align*}

Επειδή ισχύει \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'=u, \, \Bigg(3 u\Bigg)'=3 και \Bigg(\ln x\Bigg)'=\dfrac{1}{u}. έχουμε:

    \begin{align*}  &\int_{1}^{2} u-3 +2\cdot\dfrac{1}{ u} \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'-\Bigg(3 u\Bigg)' +2\cdot\Bigg(\ln x\Bigg)' \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'-\Bigg(3 u\Bigg)' +\Bigg(2\cdot\ln x\Bigg)' \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg( \dfrac{u^{2}}{2}-3 u+2\cdot\ln x\Bigg)'\,\, du=\\\\ &\Bigg[ \dfrac{u^{2}}{2}-3 u+2\cdot\ln x\Bigg]_{1}^{2} =\\\\  &\Bigg[\dfrac{2^{2}}{2}-3\cdot 2+2\cdot\ln 2\Bigg]- \Bigg[\dfrac{1^{2}}{2}-3\cdot 1+2\cdot\ln 1 \Bigg]=\\\\  & 2-6+2\cdot\ln 2 -\dfrac{1}{2}+3-0=\\\\\ &-\dfrac{3}{2}+2\cdot \ln 2.\\\\ \end{align*}

Παράδειγμα.3.
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\ln\sqrt{3}} \dfrac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)\cdot \ln (e^{2x}+1)} \, dx.\]

Λύση
Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\ln\sqrt{3}} \dfrac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)\cdot \ln (e^{2x}+1)} \, dx.\]

Θέτουμε \ln (e^{2x}+1)=u.
Οπότε:

    \begin{align*} &\Big( \ln (e^{2x}+1)\Big)'\, dx =(u)' \, du \Rightarrow\\\\ & \dfrac{1}{e^{2x}+1}\cdot (e^{2x}+1)' \, dx = du\Rightarrow\\\\  & \dfrac{1}{e^{2x}+1}\cdot e^{2x}\cdot(2x)' \, dx = du\Rightarrow\\\\  & \dfrac{1}{e^{2x}+1}\cdot 2 \cdot e^{2x} \, dx = du\Rightarrow\\\\  & \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1} \, dx = \dfrac{1}{2} \, du. \end{align*}

Επιπλέον ισχύουν:

για x= e και \ln x=u\Rightarrow  \ln 1=u\Rightarrow u= 0.
και
για x=e^{2} και \ln x =u\Rightarrow \ln e^{2}=u\Rightarrow 2\cdot \ln =u\Rightarrow u=2.

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

    \begin{align*} & \int_{e}^{e^{2}} \dfrac{\ln^{2}x -3\ln x +2}{x\cdot \ln x} \, dx=\\\\  &\int_{e}^{e^{2}} \dfrac{\ln^{2}x -3\ln x +2}{ \ln x}\cdot \dfrac{1}{x} \, dx=\\\\   &\int_{1}^{2} \dfrac{u^{2}-3u +2}{ u} \, du=\\\\  &\int_{1}^{2} \dfrac{u^{2}}{ u}-\dfrac{3u}{ u} +\dfrac{2}{ u} \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} u-3 +2\cdot\dfrac{1}{ u} \, du=\\\\ \end{align*}

Επειδή ισχύει \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'=u, \, \Bigg(3 u\Bigg)'=3 και \Bigg(\ln x\Bigg)'=\dfrac{1}{u}. έχουμε:

    \begin{align*}  &\int_{1}^{2} u-3 +2\cdot\dfrac{1}{ u} \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'-\Bigg(3 u\Bigg)' +2\cdot\Bigg(\ln x\Bigg)' \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'-\Bigg(3 u\Bigg)' +\Bigg(2\cdot\ln x\Bigg)' \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg( \dfrac{u^{2}}{2}-3 u+2\cdot\ln x\Bigg)'\,\, du=\\\\ &\Bigg[ \dfrac{u^{2}}{2}-3 u+2\cdot\ln x\Bigg]_{1}^{2} =\\\\  &\Bigg[\dfrac{2^{2}}{2}-3\cdot 2+2\cdot\ln 2\Bigg]- \Bigg[\dfrac{1^{2}}{2}-3\cdot 1+2\cdot\ln 1 \Bigg]=\\\\  & 2-6+2\cdot\ln 2 -\dfrac{1}{2}+3-0=\\\\\ &-\dfrac{3}{2}+2\cdot \ln 2.\\\\ \end{align*}

Παράδειγμα.4.
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

    \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\ef^{2}x-1}{\syn^{2}x \cdot \sqrt{\ef x}} \, dx.\]

Λύση

Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\ef^{2}x-1}{\syn^{2}x \cdot \sqrt{\ef x}} \, dx.\]

Θέτουμε \ef x =u.
Οπότε:

    \begin{align*} &\Big( \ef x\Big)'\, dx =(u)' \, du \Rightarrow\\\\ & \dfrac{1}{\syn^{2}x} \, dx = du. \end{align*}

Επιπλέον ισχύουν:

για x= \dfrac{\pi}{4} και \ef x =u\Rightarrow  \ef \dfrac{\pi}{4} =u\Rightarrow u= 1.
και
για \dfrac{\pi}{3} και \ef x =u\Rightarrow  \ef \dfrac{\pi}{3} =u\Rightarrow u= \sqrt{3}.

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

    \begin{align*} & \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\ef^{2}x-1}{\syn^{2}x \cdot \sqrt{\ef x}} \, dx=\\\\ & \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\ef^{2}x-1}{ \sqrt{\ef x}}\cdot \dfrac{1}{\syn^{2}x} \, dx=\\\\\ & \int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac{u^{2}-1}{\sqrt{u}} \, du=\\\\ & \int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac{u^{2}}{\sqrt{u}}-\dfrac{1}{\sqrt{u}} \, du=\\\\ & \int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac{u^{2}}{u^{{^\frac{1}{2}}}}-\dfrac{2}{2\cdot\sqrt{u}} \, du=\\\\ & \int_{1}^{\sqrt{3}} u^{^{2-\frac{1}{2}}}-2\cdot \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{u}} \, du=\\\\ & \int_{1}^{\sqrt{3}} u^{^{\frac{3}{2}}}-2\cdot \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{u}} \, du=\\\\ \end{align*}

Επειδή ισχύει:

  • \Bigg(\dfrac{u^{^{1+\frac{3}{2}}}}{{1+\frac{3}{2}}}\Bigg)'=u^{^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow  \Bigg(\dfrac{u^{^{\frac{5}{2}}}}{{\frac{5}{2}}}\Bigg)'=u^{^{\frac{3}{2}}}\,
  • και

  • \Bigg(\sqrt{ x}\Bigg)'=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{u}}.
  • Έχουμε:

        \begin{align*}  &\int_{1}^{2} u-3 +2\cdot\dfrac{1}{ u} \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'-\Bigg(3 u\Bigg)' +2\cdot\Bigg(\ln x\Bigg)' \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(\dfrac{u^{2}}{2}\Bigg)'-\Bigg(3 u\Bigg)' +\Bigg(2\cdot\ln x\Bigg)' \, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg( \dfrac{u^{2}}{2}-3 u+2\cdot\ln x\Bigg)'\,\, du=\\\\ &\Bigg[ \dfrac{u^{2}}{2}-3 u+2\cdot\ln x\Bigg]_{1}^{2} =\\\\  &\Bigg[\dfrac{2^{2}}{2}-3\cdot 2+2\cdot\ln 2\Bigg]- \Bigg[\dfrac{1^{2}}{2}-3\cdot 1+2\cdot\ln 1 \Bigg]=\\\\  & 2-6+2\cdot\ln 2 -\dfrac{1}{2}+3-0=\\\\\ &-\dfrac{3}{2}+2\cdot \ln 2.\\\\ \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *