ολοκληρωμα-συναρτησης-με-ριζες-διαφορετικης-ταξης-ιδιο-υπορριζου

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

$\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}$

εργαζόμαστε ως εξης:

Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. $EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.$

Θέτουμε $\sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.$

Οπότε $( kx+\lambda)' \, dx = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.$

Γράφουμε τα ριζικά $\sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda},$ ως δυνάμεις του $u$ και κάνουμε την αντικατάσταση.

Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το οριμένο ολοκλήρωμα

$\int_{2}^{65} \dfrac{ \sqrt{x-1}+1}{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1}}\, dx.$

Λύση
Στο ολοκλήρωμα:

$\int_{2}^{65} \dfrac{ \sqrt{x-1}+1}{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1}}\, dx.$

Υπάρχουν οι παρακάτω ρίζες διαφορετικής τάξης 2 και 3

$\sqrt{x-1}}, \quad \sqrt[3]{x-1}.$

Υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων $EK\Pi(2,3)=6.$

Θέτουμε $\sqrt[6]{x-1}=u\Rightarrow x-1=u^{6}.$
Οπότε:

$\begin{align*} &(x-1)'\, dx =(u^{6})' \, du \Rightarrow\\ & dx =6u^{5}\,\, du. \end{align*}$

Επιπλέον ισχύουν:

$\sqrt{x-1}=\sqrt[6]{x-1}^{3} =u^{3}$

και

$\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x-1}^{2} =u^{2}$

για $x= 2$ και $\sqrt[6]{x-1}=u\Rightarrow \sqrt[6]{2-1}=u\Rightarrow u= 1.$
και
για $x= 65$ και $\sqrt[6]{x-1}=u\Rightarrow \sqrt[6]{65-1}=u\Rightarrow \sqrt[6]{64}=u\Rightarrow \sqrt[6]{2^{6}}=u\Rightarrow u = 2$

Συνεπώς το αρχικό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

$\begin{align*} &\int_{2}^{65} \dfrac{ \sqrt{x-1}+1}{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1}}\, dx=\\\\ &\int_{1}^{2} \dfrac{ u^{3}+1}{u^{2}+u^{3}}\cdot 6u^{5}\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \dfrac{ u^{3}+1}{u^{2}\cdot (1+u)}\cdot 6u^{5}\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} 6u^{3}\cdot \dfrac{ u^{3}+1}{(1+u)}\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} 6u^{3}\cdot \dfrac{(u+1)\cdot( u^{2}-u+1)}{(1+u)}\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} 6u^{3}\cdot ( u^{2}-u+1)\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} 6u^{5}-6u^{4}+6u^{3}\,\, du=\\\\ \end{align*}$

Επειδή ισχύει $\Bigg(\dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)'=u^{5}, \, \Bigg(\dfrac{u^{5}}{5}\Bigg)'=u^{4}$ και $\Bigg(\dfrac{u^{4}}{4}\Bigg)'=u^{3}$ έχουμε:

$\begin{align*} &\int_{1}^{2} 6u^{5}-6u^{4}+6u^{3}\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} 6\cdot \Bigg(\dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)'-6 \cdot \Bigg(\dfrac{u^{5}}{5}\Bigg)'+6\cdot \Bigg(\dfrac{u^{4}}{4}\Bigg)'\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg( 6\cdot \dfrac{u^{6}}{6}-6 \cdot \dfrac{u^{5}}{5}+6\cdot \dfrac{u^{4}}{4}\Bigg)'\,\, du=\\\\ &\int_{1}^{2} \Bigg(u^{6}- \dfrac{6}{5} \cdot u^{5}+\dfrac{3}{2}\cdot u^{4}\Bigg)'\,\, du=\\\\ &\Bigg[u^{6}- \dfrac{6}{5} \cdot u^{5}+\dfrac{3}{2}\cdot u^{4}\Bigg]_{1}^{2} =\\\\ &\Bigg[2^{6}- \dfrac{6}{5} \cdot 2^{5}+\dfrac{3}{2}\cdot 2^{4}\Bigg]- \Bigg[1^{6}- \dfrac{6}{5} \cdot 1^{5}+\dfrac{3}{2}\cdot 1^{4}\Bigg]=...=\dfrac{483}{10}.\\\\ \end{align*}$