ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

  • Στις περιπτωσεις υπολογισμου ορισμένου ολοκληρώματος που που περιέχει πρωτοβάθμιο πολυώνυμο της μορφής:
    \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{2}\big) \,dx \,\, \text{ή} \,\, \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{3}\big) \,dx, \, \kappa \in \rr^{*}
    εκτελουμε τις γνωστές ταυτότητες.
  • Παράδειγμα.1.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.\]

    Λύση

    Επειδή το x-1, είναι υψωμένο στο τετράγωνο εκτελούμε τη γνωστή ταυτότητα του αθροίσματος στο τετράγωνο.Δείτε την συνέχεια της λύσης εδώ

  • Στις περιπτώσεις όπου η δυνάμη του πρωτοβάθμιου πολυωνύμου είναι μεγαλύτερη του 3 έχουμε την παρακάτω αντικατάσταση:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{\nu}\big)\, dx \quad \text{με} \quad \kappa \in \rr^{*}.\]

    θετουμε \kappa x +\lambda = u \Leftrightarrow  x = \dfrac{u-\lambda}{\kappa}

    οπότε \, \big(\kappa x +\lambda\big)' dx =  (u)'\, du \Rightarrow \kappa \,dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{\kappa}\, du.

    και αλλάζουμε τα άκρα τις ολοκλήρωσης ως προς τη νέα μεταβλητή u δηλαδή:
    το \alpha θα το αντικαταστήσουμε με \kappa \alpha +\lambda
    και
    το \beta θα το αντικαταστήσουμε με \kappa \beta +\lambda

  • Παράδειγμα.2.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{\frac{3}{2}}^{2}x\cdot (2x-3)^{5}\, dx.\]

    Λύση

        \[\int_{\frac{3}{2}}^{2}x\cdot (2x-3)^{5}\, dx.\]

    Θέτουμε: \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, 2x-3 =u \Rightarrow x =\dfrac{u+3}{2}.
    Επιπλέον

        \begin{align*}  &(2x-3)'dx =(u)'du \Rightarrow\\  &2\cdot dx = du \Rightarrow\\  & dx = \dfrac{1}{2} dx \end{align*}

    Επίσης
    για x =\dfrac{3}{2} και 2x-3 =u έχουμε 2\cdot \dfrac{3}{2} -3 =u \Rightarrow u =0
    και
    για x = 2 και 2x-3 =u έχουμε 2\cdot 2 -3 =u \Rightarrow u =1

    Συνεπώς κάνοντας τις παραπάνω αντικαταστάσεις στο αρχικό ολοκλήρωμα έχουμε:

        \begin{align*}  &\int_{\frac{3}{2}}^{2}x\cdot (2x-3)^{5}\, dx =\\\\  &\int_{0}^{1}\dfrac{u+3}{2}\cdot u^{5}\cdot \dfrac{1}{2} \,dx=\\\\   &\int_{0}^{1}\dfrac{u+3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{u}{4}+ \dfrac{3}{4}\Big)\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{u}{4}\cdot u^{5}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{u\cdot u^{5}}{4}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{ u^{6}}{4}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{1}{4}\cdot  u^{6}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx\\\\ \end{align*}

    Επειδή ισχύει \Bigg(\dfrac{u^{7}}{7}\Bigg)'=u^{6} και \Bigg(\dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)'= u^{5} έχουμε:

        \begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{1}{4}\cdot  u^{6}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{1}{4}\cdot \Bigg( \dfrac{u^{7}}{7}\Bigg)'+ \dfrac{3}{4}\cdot\Bigg( \dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)' \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\Bigg(\dfrac{1}{4}\cdot  \dfrac{u^{7}}{7}+ \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)' \,dx=\\\\ &\Bigg[\dfrac{1}{4}\cdot  \dfrac{u^{7}}{7}+ \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{u^{6}}{6}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg[\dfrac{1}{4}\cdot  \dfrac{u^{7}}{7}+ \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{6}}{2}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg[\dfrac{1}{28}\cdot u^{7}+ \dfrac{1}{8}\cdot u^{6}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg (\dfrac{1}{28}\cdot 1^{7}+ \dfrac{1}{8}\cdot 1^{6}\Bigg)-\Bigg (\dfrac{1}{28}\cdot 0^{7}+ \dfrac{1}{8}\cdot 0^{6}\Bigg)=\\\\ &\dfrac{1}{28}+ \dfrac{1}{8} - 0= \dfrac{9}{56}. \end{align*}

  • Όταν έχουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta}(\kappa x +\lambda)^{\nu}  \cdot (\gamma  x +\delta)^{\mu}\, dx.\]

    Θέτουμε ως u όποιο από τα διώνυμα \kappa x +\lambda ή \gamma  x +\delta είναι υψωμένο σε μεγαλύτερη δύναμη.


  • Παράδειγμα.3.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{-\frac{1}{2}}^{0}(4x-3)^{2}\cdot (2x+1)^{11}\,\, dx.\]

    Λύση

        \[\int_{-\frac{1}{2}}^{0}(4x-3)^{2}\cdot (2x+1)^{11}\,\, dx.\]

    Θέτουμε: 2x+1=u\Rightarrow x =\dfrac{u-1}{2}.

    Επιπλέον

        \begin{align*}           &(2x+1)' dx=(u)' du \Rightarrow \\\\           & 2\cdot dx = du \Rightarrow \\\\           & dx =\dfrac{1}{2}\cdot du.          \end{align*}

    Επίσης
    για x=-\dfrac{1}{2} και 2x+1=u\Rightarrow 2\cdot (-\dfrac{1}{2})+1=u\Rightarrow u=0.
    και
    για x=0 και 2x+1=u\Rightarrow 2\cdot 0+1=u\Rightarrow u=1.

    Οπότε το αρχικό ολοκλήρωμα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

        \begin{align*} & \int_{-\frac{1}{2}}^{0}(4x-3)^{2}\cdot (2x+1)^{11}\,\, dx\\\\ & \int_{0}^{1}\Big(4\cdot\dfrac{u-1}{2} -3\Big)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}\Big(2\cdot (u-1) -3\Big)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} (2u-2 -3)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} (2u-5)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}  \dfrac{1}{2}\cdot(2u-5)^{2}\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}  \dfrac{1}{2}\cdot(4u^{2}-20u+25)\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}  \Big(2u^{2}-10u+\dfrac{25}{2}\Big)\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}  \Big(2u^{2}-10u+\dfrac{25}{2}\Big)\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}  2\cdot u^{13}-10\cdot u^{12}+\dfrac{25}{2}\cdot u^{11}\, du \end{align*}

    Επειδή ισχύει \Bigg(\dfrac{u^{14}}{14}\Bigg)'=u^{13}, \Bigg(\dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'=u^{12} και\Bigg(\dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'=u^{11}.

    Έχουμε:

        \begin{align*} & \int_{0}^{1}  2\cdot u^{13}-10\cdot u^{12}+\dfrac{25}{2}\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}  2\cdot \Bigg(\dfrac{u^{14}}{14}\Bigg)'-10\cdot  \Bigg(\dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'+\dfrac{25}{2}\cdot \Bigg(\dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Bigg( 2\cdot \dfrac{u^{14}}{14}\Bigg)'-\Bigg(10\cdot  \dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'+\Bigg(\dfrac{25}{2}\cdot \dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Bigg( \dfrac{u^{14}}{7}\Bigg)'-\Bigg(10\cdot  \dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'+\Bigg(\dfrac{25}{2}\cdot \dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Bigg( \dfrac{1}{7}\cdot u^{14}- \dfrac{10}{13}\cdot u^{13}+\dfrac{25}{24}\cdot u^{12}\Bigg)'\, du=\\\\ &\Bigg [\dfrac{1}{7}\cdot u^{14}- \dfrac{10}{13}\cdot u^{13}+\dfrac{25}{24}\cdot u^{12}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg (\dfrac{1}{7}\cdot 1- \dfrac{10}{13}\cdot 1+\dfrac{25}{24}\cdot 1\Bigg)-\Bigg (\dfrac{1}{7}\cdot 0- \dfrac{10}{13}\cdot 0+\dfrac{25}{24}\cdot 0\Bigg) =\\\\ & \dfrac{1}{7} - \dfrac{10}{13} +\dfrac{25}{24}-0= \dfrac{907}{2184}. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *