ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Η μέθοδος της ολοκληρωσης με αντικατατάσταση ( ή αλλαγη μεταβλητής ) περιγράφεται από τον τύπο:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Big( g(x)\Big) \cdot g'(x) dx = \int_{u_{1}}^{u_{2}} f(u) du.\]

όπου f και g' συνεχείς συναρτήσεις με u = g(x), \, du =g'(x) dx και u_{1}= g(\alpha), u_{2} =g(\beta).

Για την παραπάνω σχέση εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θετουμε g(x) = u
  • παραγωγιζοντας την εχουμε:

        \begin{align*}   & \big(g(x)\big)'dx = (u)'du \\   & g'(x)dx =du \end{align*}

  • Για x =\alpha και x=\beta βρίσκουμε τα νέα άκρα ολοκληρωσης

        \[\quad u_{1}= g(\alpha), \quad u_{2} =g(\beta).\]

  • Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα ολόυς τους όρους, χρησιμοποιόντας τη νεα μεταβλητή που θέσαμε u.
  • Υπολογίζουμε το νέο ολοκλήρωμα ως προς τη νέα μεταβλητη u.
  • Παράδειγμα.
    Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \,dx.

    Λύση
    Για το ολοκλήρωμα \dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x\, dx
    Θέτουμε:

        \begin{align*} &\hm x = u\\\\ &{\text{οπότε}}\\\\ & \big(\hm x\big)' dx = (u)'du\\\\ &\syn x \,dx =du. \end{align*}

    Υπολογίζουμε τα άκρα της ολοκήρωσης ως προς την νεα μεταβλητή u και έχουμε:

        \begin{align*} &{\text{για}}\quad x = \frac{\pi}{2}, \quad  \hm x = u\Rightarrow \hm \frac{\pi}{2} = 1\\ &{\text{για}}\quad x =0, \quad  \hm x = u\Rightarrow \hm 0 = 0.\\ \end{align*}

    Οπότε το ορισμένο ολοκλήρωμα \dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x\, dx , με τη μέθοδο της ολοκληρωσης με αντικατατάσταση ( ή αλλαγη μεταβλητής )
    υπολογίζεται ως εξής:

        \begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1} e^{u}\, du=\\\\ &\Big[ e^{u}\Big]_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}= e-1. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *