ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΠΟΥ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΧΟΥΝ ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = \alpha\cdot \ln x+\beta x^{2} και g(x)=x^{2}+2\beta x +\alpha με \alpha , \beta \in \rr. Να βρείτε τις τιμές των \alpha , \beta ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f και g να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x_{0}=1. Στη συνέχεια να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης.

Λύση

Η συνάρτηση f(x)=\alpha\cdot \ln x+\beta x^{2} είναι παραγωγίσιμη στο A_{f}=(0,+\infty) με

    \begin{align*} &f'(x)=\Big(\alpha\cdot \ln x+\beta x^{2}\Big)' \Rightarrow \\\\ &f'(x) = \dfrac{\alpha}{x}+2\beta x. \end{align*}

Η συνάρτηση g(x)=x^{2}+2\beta x +\alpha είναι παραγωγίσιμη στο A_{g}=\rr με

    \begin{align*} & g'(x)=\Big(x^{2}+2\beta x +\alpha\Big)' \Rightarrow \\\\ &g'(x) = 2 x+2\beta \end{align*}

Για να έχουν οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{g} κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x_{0}=1 θα πρέπει:

    \begin{align*} &\begin{cases}   f(x_{0})=g(x_{0})\\ \quad \text{και} \\    f'(x_{0})=g'(x_{0})   \end{cases} \Rightarrow \\\\ &\begin{cases}   f(1)=g(1)\\ \quad \text{και} \\    f'(1)=g'(1)   \end{cases} \Rightarrow \\\\ &\begin{cases}  \alpha\cdot \ln 1+\beta \cdot 1^{2}=1^{2}+2\beta \cdot 1 +\alpha\\ \quad \text{και} \\    \dfrac{\alpha}{1}+2\beta \cdot 1= 2\cdot 1 +2\beta \cdot 1   \end{cases} \Rightarrow \\\\ &\begin{cases}  \alpha+\beta =- 1 \\ \quad \text{και} \\   \alpha= 2   \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}  \beta =- 3 \\ \quad \text{και} \\   \alpha= 2   \end{cases}  \end{align*}

Οποτε οι παραπάνω συναρτήσεις είναι οι:

    \[f(x)= 2\ln x -3x^{2} \quad \text{και } \quad g(x)=x^{2}-6x+2\]

και η κοινή τους εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x_{0}=1 είναι:

    \[(\epsilon): y -f(1)=f'(1)\cdot(x-1)\]

για τον υπολογισμό της οποίας έχουμε:

    \[\begin{cases}   f(1)=g(1) =-3\\ \quad \text{και} \\    f'(1)=g'(1)=-4   \end{cases}\]

    \[(\epsilon): y +3= -4\cdot(x-1)\Rightarrow\]

    \[(\epsilon): y=-4x+1.\]

Όπως φαίνεται παρακάτω:

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *