ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com


Έστω f, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο x_{0}, Η ευθεία (\epsilon): y = \lambda x +\beta, είναι κοινή εφαπτομένη των
C_{f} και C_{g} στο κοινο τους σημείο με τετμημένη x_{0}, αν και μόνο αν:

    \[\begin{cases}   f(x_{0})=g(x_{0})\\ \quad \text{και} \\    f'(x_{0})=g'(x_{0})=\lambda   \end{cases}\]

Συνεπώς η εφαπτομένη (\epsilon) θα υπολογίζεται με έναν απο τους παρακάτω τύπους:
(\epsilon): y -f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot (x- x_{0})
ή
(\epsilon): y -g(x_{0})= g'(x_{0})\cdot (x- x_{0})

Παράδειγμα.1.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x^{2}+3x+3 και g(x) = -\dfrac{1}{x}. Να βρεθεί η κοινη εφαπτομένη των C_{f} και C_{g} στο κοινό τους σημείο.

Λύση
Η συνάρτηση f με f(x)=x^{2}+3x+3 ειναι παραγωγίσιμη στο A_{f}=\rr και η συνάρτηση g με g(x) = -\dfrac{1}{x} είναι παραγωγίσιμη στο A_{g}= \rr^{*}

  • Έυρεση του κοινού τους σημείου.
    • Η C_{f} με y = f(x) τέμνει την C_{g} με y =g(x) όταν f(x)= g(x) για x\neq 0.

    Επομένως:

        \begin{align*} &f(x) = g(x) \\\\ &x^{2}+3x+3= -\dfrac{1}{x}\\\\ &x^{3}+3x^{2}+3x=-1 \\\\ &x^{3}+3x^{2}+3x+1=0 \\\\ &(x+1)^{3}=0\\\\ &x+1= 0 \\\\ &x=-1 \neq 0 \end{align*}

    Οπότε το κοινό τους σημείο των C_{f} και C_{g} έχει τετμημένη x_{0}=-1

    με f({x_{0}) =g(x_{0}) έχουμε f(-1)=g(-1) = -1

    Αρα το κοινό τους σημείο είναι το M(-1,-1)

    Επιλέον έχουμε:
    f'(x)= (x^{2}+3x+3)' \Leftrightarrow f'(x)=2x+3
    και για x_{0}=-1 είναι f'(-1)=1

    επίσης

    g'(x)=\Big(-\dfrac{1}{x}\Big)'\Leftrightarrow g'(x) = \dfrac{1}{x^{2}}
    και για x_{0}=-1 είναι g'(1)=1

    Τελικά αφου

        \[\begin{cases}   f(-1)=g(-1)\\ \quad \text{και} \\    f'(-1)=g'(-1)   \end{cases}\]

    Οι συναρτήσεις f,g έχουν στο κοινό τους σημείο M(-1,-1) κοινή εφαπτομένη με τύπο:
    (\epsilon): y -f(-1)= f'(-1)\cdot (x+1)
    (\epsilon): y -1= 1\cdot (x+1)

        \[(\epsilon): y = x +2\]

    Όπως φαινεται στο παρακάτω σχήμα.

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Μπάρλας.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    One thought on “ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ”

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *