ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email


Στις περιπτώσεις που ζητάμε την μονοτονία μιας συνάρτησης f, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της, αλλά γνωρίζουμε ότι η σύνθεση της με μια συνάρτηση g είναι ίση με μια συνάρτηση h.

    \[g\circ f = h.\]

Πρέπει να υπολογίσουμε την μονοτονία της g της h, οπότε θα είναι γνωστή και η μονοτονία της σύνθεσης τών συναρτήσεων f με g, δηλαδη της g\circ f.




Παράδειγμα.

Να βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης \, f:\rr\to\rr αν για κάθε x\in \rr, ισχύει ότι:

    \[3f(x)+e^{^{f(x)}}+4x-2=0.\]

Λύση
Από υπόθεση για κάθε x\in \rr, ισχύει ότι:

    \begin{align*} &3f(x)+e^{^{f(x)}}+4x-2=0\Rightarrow \\\\ &3f(x)+e^{^{f(x)}}=-4x+2.\quad (1.) \end{align*}

Το Α. μέλος της σχέσης(1.) γράφεται ως σύνθεση των συναρτήσεων f και g με g(x)= 3x+e^{x}\,\, x\in \rr.

    \[\big(g\circ f\big)(x) = g\Big( f(x)\Big)=3f(x)+e^{^{f(x)}}\quad (2.)\]

Υπολογίζουμε την μονοτονία της \, g:
Ισχύει: για \,\, x_1, x_2 \in A_{g}=\rr\,\, με

    \begin{align*} x_1< x_2 \Leftrightarrow & \left\{     \begin{tabular}{l} 		$3x_{1}<3x_{2}$ \\\\ 		$e^{x_{1}}<e^{x_{2}}$ 	\end{tabular} 	\right \}\overset{+}{\Leftrightarrow} \\\\          3x_{1}&+e^{x_{1}}\,\,<\,\,3x_{2}+e^{x_{2}}\Leftrightarrow \\\\           &g(x_{1}) < g(x_{2}) \end{align*}

Άρα η συνάρτηση \,   g \, είναι γνησίως αύξουσα στο \, A_{g}=\rr.

Ορίζουμε τώρα το Β. μέλος της σχέσης (1.)
ως συνάρτηση h με h(x)=-4x+2, \,\, x\in \rr. \quad (3.)
Υπολογίζουμε την μονοτονία της h και έχουμε:

\text{για κάθε}\,\, x_{1},x_{2}\in A_{h}=\rr  \,\,\text{με}

    \begin{align*} x_{1} &<x_{2}\Leftrightarrow\\  -4x_{1}&>-4x_{2}\Leftrightarrow \\ -4x_{1}+2&>-4x_{2}+2\Leftrightarrow \\ h(x_{1})&>h(x_{2}). \end{align*}

Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο A_{h}=\rr.

Συνοψίζοντας έχουμε ότι: από τις σχέσεις (1.) (2.) (3.)

    \[g\circ f = h.\]

Επειδη η h είναι γνησίως φθίνουσα στο \rr άρα και η g\circ f είναι γνησίως φθίνουσα στο \rr.
οπότε για κάθε x_{1},x_{2}\in \rr με

    \begin{align*} x_{1}&<x_{2}\Leftrightarrow \\\\ \big(g\circ f\big)(x_{1})&> \big(g\circ f\big)(x_{2})\Leftrightarrow \\\\  g\Big( f(x_{1})\Big) &> g\Big( f(x_{1})\Big)\overset{g \uparrowtail}{\Leftrightarrow} \\\\ f(x_{1})&>f(x_{2}). \end{align*}

Δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο \rr.

ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Έστω η συνάρτηση f:\rr\to\rr να βρεθει η μονοτονια της f στις παρακάτω περιπτωσεις

i.) Αν ισχύει f^{3}(x)+e^{f(x)}-e^{-x}-1=0 για κάθε x\in \rr.
ii.) Αν ισχύει e^{-f(x)}-f^{3}(x)+1=x για κάθε x\in \rr.
iii.) Αν ισχύει f^{3}(x)+e^{f(x)}+1 =x για κάθε x\in \rr.

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *