ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

Print Friendly, PDF & Email

Αν στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου, στον παρονομαστή υπάρχει ως παράγοντας τριωνυμο που δεν παραγοντοποιειται.
Τότε το αντίστοιχο κλάσμα της αρχικής μορφοποίησης γίνεται:

    \[\dfrac{Ax+B}{\alpha x^{2}+\beta x +\gamma}\]

Παράδειγμα.1.

Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα της παρακάτω ρητής συνάρτησης:

    \[\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{x^{3}-1}\, dx.\]

Λύση

Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή μορφοποιούμε το κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο:

    \[\dfrac{x+1}{x^{3}-1}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+\Gamma}{x^{2}+x+1}\]

Επειδή το τριώνυμο x^{2}+x+1, δέν παραγοντοποίειται αφού εχει διακρίνουσα αρνητική \Delta=-3 και δεν έχει ρίζες.

  • Οπότε για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος

        \[\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\, dx,\]

    θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα τις τιμές των A Β και \Gamma,
    έχουμε:

  •     \begin{align*} &\dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+\Gamma}{x^{2}+x+1} \Leftrightarrow\\\\ &x+1=(x^{2}+x+1){A}+(x-1)(Bx+\Gamma) \Leftrightarrow\\\\ &x+1=Ax^{2}+Ax+A+Bx^{2}-Bx+\Gamma x-\Gamma \Leftrightarrow\\\\ &x+1=Ax^{2}+Bx^{2}+Ax-Bx+\Gamma x+A-\Gamma \Leftrightarrow\\\\ &x+1=\big(A+B\big)\cdot x^{2}+\big(A-B+\Gamma \big)\cdot x+\big(A-\Gamma) \Leftrightarrow\\\\ \end{align*}

    \color{red}{{\color{blue}{0}}\cdot x^{2}+{\color{blue}{1}}\cdot x+{\color{blue}{1}}}={\color{blue}{\big(A+B\big)}}\cdot x^{2}+{\color{blue}{\big(A-B+\Gamma \big)}}\cdot x+{\color{blue}{\big(A-\Gamma)}} \Leftrightarrow

        \begin{align*}  &\left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      ${\color{blue}{A+B}} = {\color{blue}{0}}$& \\ 				      ${\color{blue}{ A-B+\Gamma }}={\color{blue}{1}}$&{\Leftrightarrow}$ \\                                       $ {\color{blue}{ A-\Gamma}}={\color{blue}{1}}$ 			      \end{tabular} 			      \right.   \left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      $A=-B$& \\ 				      $A-B+\Gamma=1$ $\Leftrightarrow $ \\                                       $ \Gamma=A-1$\ 			      \end{tabular} 			      \right. \  \end{align*}

        \begin{align*} &\left\{ \begin{tabular}{ll} 				      $A=-B$& \\ 				      $A-B+\Gamma=1$ $\Leftrightarrow $ \\                                       $ \Gamma=-B-1$ 			      \end{tabular} 			      \right. \left\{ \begin{tabular}{ll} 				      $A=-B$& \\ 				      $-B-B-B-1=1 $&$\Leftrightarrow $ \\                                       $ \Gamma=-B-1$&\\ 			      \end{tabular} 			      \right.  \end{align*}

        \[\left\{ \begin{tabular}{ll} 				      $A=-B$& \\\\ 				      $-3B=2$&$\Leftrightarrow$\\\\                                       $ \Gamma=-B-1$& 			      \end{tabular} 			      \right.\]

        \[\left\{ \begin{tabular}{ll} 				      $A=-B$& \\\\ 				      $B=-\frac{2}{3}$& $\Leftrightarrow $ \\\\                                       $ \Gamma=-B-1$ 			      \end{tabular} 			      \right. \left\{ \begin{tabular}{ll} 				      $A=\frac{2}{3}$& \\\\ 				      $B=-\frac{2}{3}$& \Leftrightarrow $  \\\\                                       $ \Gamma=\frac{2}{3}-1$ 			      \end{tabular} 			      \right. \left\{ \begin{tabular}{ll} 				      $A=\frac{2}{3}$& \\\\ 				      $B=-\frac{2}{3}$&   \\\\                                       $ \Gamma=-\frac{1}{3}$ 			      \end{tabular} 			      \right.\]

  • Άρα η ρητή συνάρτηση με το τριώνυμο που δεν παραγοντοποιείται στον παρονομαστή, γράφεται:

        \[\dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\dfrac{\frac{2}{3}}{x-1}+\dfrac{-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}}{x^{2}+x+1}\]

        \[\dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2 x+1}{x^{2}+x+1}\]

    • Παρτηρόυμε ότι ο παρονομαστής έχει παράγωγο: (x^{2}+x+1)'=2x+1 την οποία πρέπει να εμφανίσουμε στον αριθμητη.
  • Συνεπώς για το ορισμένο ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης έχουμε:

        \begin{align*} &\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{x^{3}-1}=\\\\ &\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\, dx=\\\\ &\int_{-1}^{0}\dfrac{\frac{2}{3}}{x-1}+\dfrac{-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}}{x^{2}+x+1} \,dx =\\\\ &\dint_{-1}^{0}\frac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2 x+1}{x^{2}+x+1 } \,dx =\\\\ &\frac{2}{3}\cdot\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot \int_{-1}^{0}\dfrac{2 x+1}{x^{2}+x+1 } \,dx =\\\\ &\frac{2}{3}\cdot\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot \int_{-1}^{0}\dfrac{(x^{2}+x+1)'}{x^{2}+x+1 } \,dx =\\\\ \end{align*}

        \begin{align*} &\frac{2}{3}\cdot\int_{-1}^{0}\Big(\ln|x-1|\Big)'-\frac{1}{2}\cdot \int_{-1}^{0}\Big(\ln|x^{2}+x+1|\Big)'  \,dx =\\\\ &\frac{2}{3}\cdot \Big[\ln|x-1|\Big]_{-1}^{0}-\frac{1}{2}\cdot \Big[\ln|x^{2}+x+1|\Big]_{-1}^{0} =\\\\ &\frac{2}{3}\cdot \Big(\ln|-1|-\ln|-2|\Big)-\frac{1}{2}\cdot \Big(\ln|1|-\ln |1|\Big)=-\frac{2}{3}\cdot\ln 2. \end{align*}

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Παράδειγμα.2.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \dint_{0}^{1}\dfrac{x^{3}+2x}{x^{2}+1}\,\dx
    Λύση

    Προκειμένου να αποφύγουμε την διαίρεση των πολυωνύμων μπορούμε να κάνουμε το τέχνασμα της προσθαφαίρεσης

        \begin{align*}  &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}+2x}{x^{2}+1}\,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}+x+x}{x^{2}+1}\,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{x^{3}+x}{x^{2}+1}+\dfrac{x}{x^{2}+1}\Big)\,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{x\cdot(x^{2}+1)}{x^{2}+1}+\dfrac{x}{x^{2}+1}\Big)\,dx=\\\\ &\int_{0}^{1} \Big(x +\dfrac{x}{x^{2}+1}\Big)\, dx=\\\\ &\int_{0}^{1} x \, dx +\int_{0}^{1}\dfrac{x}{x^{2}+1}\, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{1} +\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\dfrac{\big(x^{2}+1\big)'}{x^{2}+1}\, dx=\\\\ \end{align*}

        \[\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2}\Big[\ln |x^{2}+1|\Big]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2}\ln 2.\]

    Βιβλιογραφία: Στεργίου – Νάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *