ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Print Friendly, PDF & Email
Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εκτελούμε την διαίρεση P(x): Q(x) και γράφουμε:

    \[I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\]

    \[I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx\]

Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:

    \[\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.\]


Λύση

Για το ορισμένο ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης

    \[\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}\]

παρατηρούμε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή, x^{3}-2x-9, είναι ο 3, που είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή, x^{2}-2x-3, οποίος είναι ο 2 γιαυτο εκτελόυμε την ευκλείδεια διαίρεση

    \[(x^{3}-2x-9):(x^{2}-2x-3)\]

με τον παρακάτω τρόπο:

Rendered by QuickLaTeX.com

Σύμφωνα με τον αλγοριθμικό τύπο της διαίρεσης έχουμε

    \begin{align*} &x^{3}-2x-9=(x^{2}-2x-3)\cdot (x+2)+(5x-3)\Leftrightarrow \\\\ &\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}= x+2 + \dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3} \end{align*}

οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γινεται:

    \begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}=\\\\ & \int_{0}^{1}x+2 + \dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx=\\\\ & \int_{0}^{1}x+2 \,\,dx +\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx \end{align*}

το τελευταίο ορισμένο ολοκλήρωμα είναι:
ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης με βαθμο πολυωνύμου του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό πολυωνύμου του παρονομαστή.

και έχουμε:

    \begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3} =\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3} \, dx+\int_{0}^{1}\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + 3\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x-3} \, dx+2\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big(\dfrac{1^{2}}{2}+ 2\cdot 1 -0\Big)+ 3\cdot\Big[\ln|x-3|\Big]_{0}^{1}+2\cdot \Big[ \ln |x+1|\Big]_{0}^{1}=\\\\ & \dfrac{5}{2}+ 3\cdot\Big[\ln|1-3|-\ln|0-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |1+1|-\ln |0+1|\Big]=\\\\  &\dfrac{5}{2} + 3\cdot\Big[\ln|-2|-\ln|-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |2|-\ln |1|\Big]=\\\\   &\dfrac{5}{2}+ 5\ln2-3\ln3.  \end{align*}

Βιβλιογραφία: Στεργίου – Νάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *