ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εκτελούμε την διαίρεση $P(x): Q(x)$ και γράφουμε:

$I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx$

$I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx$

Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:

$\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.$

Λύση
Για το ορισμένο ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης

$\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}$

παρατηρούμε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή, $x^{3}-2x-9,$ είναι ο 3, που είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή, $x^{2}-2x-3,$ οποίος είναι ο 2 γιαυτο εκτελόυμε την ευκλείδεια διαίρεση

$(x^{3}-2x-9):(x^{2}-2x-3)$

με τον παρακάτω τρόπο:

Rendered by QuickLaTeX.com

Σύμφωνα με τον αλγοριθμικό τύπο της διαίρεσης έχουμε

$\begin{align*} &x^{3}-2x-9=(x^{2}-2x-3)\cdot (x+2)+(5x-3)\Leftrightarrow \\\\ &\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}= x+2 + \dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3} \end{align*}$

οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γινεται:

$\begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}=\\\\ & \int_{0}^{1}x+2 + \dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx=\\\\ & \int_{0}^{1}x+2 \,\,dx +\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx \end{align*}$

το τελευταίο ορισμένο ολοκλήρωμα είναι:
ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης με βαθμο πολυωνύμου του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό πολυωνύμου του παρονομαστή.

και έχουμε:

$\begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3} =\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3} \, dx+\int_{0}^{1}\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + 3\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x-3} \, dx+2\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big(\dfrac{1^{2}}{2}+ 2\cdot 1 -0\Big)+ 3\cdot\Big[\ln|x-3|\Big]_{0}^{1}+2\cdot \Big[ \ln |x+1|\Big]_{0}^{1}=\\\\ & \dfrac{5}{2}+ 3\cdot\Big[\ln|1-3|-\ln|0-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |1+1|-\ln |0+1|\Big]=\\\\ &\dfrac{5}{2} + 3\cdot\Big[\ln|-2|-\ln|-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |2|-\ln |1|\Big]=\\\\ &\dfrac{5}{2}+ 5\ln2-3\ln3. \end{align*}$