ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Print Friendly, PDF & Email

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή προσπαθούμε να γράψουμε τον παρονομαστή ως γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων και στη συνέχεια την ρητη συνάρτηση ως άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστή τον κάθε ένα απο τους παράγοντες που βρήκαμε.

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{(\alpha_{1}x+\beta_{1})\cdots(\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu} )}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}x+\beta_{1}}+\cdots +\dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu}}\Big) dx =\]

    \[\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}}\Big[\ln |\alpha_{1}x+\beta_{1}|\Big]_{\alpha}^{\beta}+ \cdots + \dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}}\Big[ \ln |\alpha_{\nu}x +\beta_{\nu}|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]



Παράδειγμα

Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητης συνάρτησης:

    \[\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\, dx.\]

Λύση
Για το οριμένο ολοκλήρωμα της παραπάνω ρητής συνάρτησης παρατηρούμε οτι ο αριθμητής δεν είναι η παράγωγος του παρονομαστή
http://diakopoulos.net/2018/02/16/%ce%bf-%ce%b1%cf%81%ce%b9%ce%b8%ce%bc%ce%b7%cf%84%ce%b7%cf%83-%ce%b5%ce%b9%ce%bd%ce%b1%ce%b9-%ce%b7-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%89%ce%b3%ce%bf%cf%83-%cf%84%ce%bf%cf%85-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%bf/
Η ρητή συνάρτηση, \dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}, που έχουμε να ολοκληρώσουμε έχει αριθμητη, το πολυώνυμο πρώτου βαθμού 5x-3, ενώ ο παρονομαστης είναι τo πολυώνυμο δευτέρου βαθμού x^{2}-2x-3.
Βρίσκουμε τις ρίζες του παρονομαστή

    \[x^{2}-2x-3=0 \Leftrightarrow x=-1 \text{ή} x=3.\]

οπότε το πολυώνυμο παραγοντοποιήται ως εξής:

    \[x^{2}-2x-3 =(x-3)\cdot (x+1)\]

άρα η ρητή συνάρτηση γράφεται:

    \[\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}=\dfrac{5x-3}{(x-3)\cdot (x+1)} .\]

Συνεπώς προσπαθούμε να μορφοποιήσουμε τη ρητή συνάρτηση με τον παρακάτω τροπο:

    \begin{align*} \dfrac{5x-3}{(x-3)\cdot (x+1)}  = & \dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+1} \end{align*}

Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε

    \begin{align*} & 5x-3 = (x+1)\cdot A + (x-3)\cdot B \Leftrigtharrow \\\\ & 5x-3 = x\cdot A +A + x\cdot B -3\cdot B \Leftrigtharrow \\\\ & 5x-3 = ( A +B)\cdot x +A  -3\cdot B \Leftrigtharrow \\\\ \end{align*}

απο τον ορισμό της ισότητας των πολυωνύμων θα πρέπει οι συντελεστές των ομόβαθμων όρων να είναι ίσοι μεταξύ τους, δηλαδή:

    \[      \left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      $5=A+B$& \\ 				      $-3=A-3B$& \\ 			      \end{tabular} \stackrel{ (-)}{\Leftrightarrow} 			      \right.   \left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      $8=4B$& \\ 				      $5=A+B$& \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \ \Leftrightarrow   \begin{tabular}{ll} 				      $Β=2$& \\ 				      $Α=3$& \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

Οπότε η ρητή συνάρτηση μορφοποιήται με τον παρακάτω τρόπο:

    \begin{align*} \dfrac{5x-3}{(x-3)\cdot (x+1)}  = & \dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+1}\Leftrightarrow \\\\ \dfrac{5x-3}{(x-3)\cdot (x+1)}  = & \dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+1} \end{align*}

Τελικά το ζητούμενο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης γίνεται:

    \begin{align*} \int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\, dx = & \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\                                           = & \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3} \, dx+\int_{0}^{1}\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\                                           = & 3\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x-3} \, dx+2\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x+1} \, dx=\\\\                                           = & 3\cdot\Big[\ln|x-3|\Big]_{0}^{1}+2\cdot \Big[ \ln |x+1|\Big]_{0}^{1}=\\\\                                           = & 3\cdot\Big[\ln|1-3|-\ln|0-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |1+1|-\ln |0+1|\Big]=\\\\                                            = & 3\cdot\Big[\ln|-2|-\ln|-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |2|-\ln |1|\Big]=\\\\                                             = & 5\ln2-3\ln3.  \end{align*}

Βιβλιογραφία: Στεργίου – Νάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

2 thoughts on “ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *