Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Print Friendly, PDF & Email

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο αριθμητής είναι η παράγωγος του παρονομαστη γράφουμε

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}dx =\]

    \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\ln \big|{Q(x)}\big|\Big)'dx =\]

    \[\Big[\ln \big|{Q(x)}\big|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]


Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

    \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx.\]

Λύση

Έχουμε

    \begin{align*}    &\int_{0}^{1} \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+5}\,dx=\\\\    &\int_{0}^{1} \dfrac{(x^{2}+3x+5)'}{x^{2}+3x+5}\,dx=\\\\      %&\int_{0}^{1} \Big(\ln \big|x^{2}+3x+5}\big| \Big)'\,dx=\\\\ \end{align*}

    \[\int_{0}^{1} \Big(\ln \big|x^{2}+3x+5}\big| \Big)'\, dx=\]

    \[\Big[\ln\big|x^{2}+3x+5}\big|\Big]_{0}^{1} =\]

    \[\ln\big|1^{2}+3\cdot 1+5 \big| -\ln \big|0^{2}+3\cdot 0+5\big|=\]

    \[\ln |9| -\ln |5| =\ln 9 -\ln 5 =\ln\dfrac{9}{5}.\]

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

One thought on “Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *