ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα που ακολουθεί, θα υπολογισθεί εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση, κάνοντας χρήση του τεχνάσματος της προσθαφαίρεσης της εκθετικής συνάρτησης

    \[{\bf{e^{x}}}.\]


Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

    \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx.\]

Λύση
Έχουμε

    \begin{align*} Ι = &\int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx=  \int_{0}^{1} e^{-x}\cdot \ln (1+e^{x}) dx =\\\\ &\int_{0}^{1} \Big(-e^{-x}\Big)'\cdot \ln (1+e^{x}) dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} -e^{-x}\cdot \Big(\ln (1+e^{x})\Big)' dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} e^{-x}\cdot \Big(\ln (1+e^{x})\Big)'dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} e^{-x}\cdot \dfrac{1}{1+e^{x}}\cdot\Big(e^{x} \Big)'dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x} }{1+e^{x}}\cdot e^{x} dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}\cdot e^{x} }{1+e^{x}}dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x+x} }{1+e^{x}}dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{0} }{1+e^{x}}dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{1 }{1+e^{x}}dx \,\,(1.) \end{align*}

Για τον υπολογισμο του παραπάνω ορισμένου ολοκληρώματος θα κάνουμε το τέχνασμα της προσθαφαίρεσης της εκθετικής e^{x}, δηλαδή

    \begin{align*} \int_{0}^{1} \dfrac{1 }{1+e^{x}}dx = & \int_{0}^{1} \dfrac{1+ e^{x}-e^{x} }{1+e^{x}}dx = \\\\                                     & \int_{0}^{1} \dfrac{1+ e^{x}}{1+e^{x}}-\dfrac{e^{x} }{1+e^{x}}dx = \\\\                                     & \int_{0}^{1}1-\dfrac{e^{x} }{1+e^{x}}dx = \\\\                                     & \int_{0}^{1}1-\dfrac{(1+e^{x})' }{1+e^{x}}dx = \\\\                                     & \int_{0}^{1}1-\dfrac{(1+e^{x})' }{1+e^{x}}dx = \\\\                                      & \int_{0}^{1} (x)'-\big[\ln(1+e^{x})\big]'dx = \\\\                                      & \int_{0}^{1} \big[x-\ln(1+e^{x})\big]'dx = \\\\                                      & \Big[x-\ln(1+e^{x})\Big]_{0}^{1} \,\,(2.) \end{align*}

Οπότε το αρχικό ολοκλήρωμα λόγω της (1.) και της (2.) γίνεται:

    \begin{align*} Ι = &\int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx= \\\\     &\Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} + \Big[x-\ln(1+e^{x})\Big]_{0}^{1} =\\\\      &\Big[- e^{-1}\cdot \ln (1+e) + \ln 2 \Big] + \Big[1-\ln(1+e) +\ln 2\Big] =\\\\     &- e^{-1}\cdot \ln (1+e) + \ln 2  + 1-\ln(1+e) +\ln 2 =\\\\     &-  \ln (1+e) \cdot(1+e^{-1}\cdot)+ 2\ln 2  + 1. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *