ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ

Print Friendly, PDF & Email

Στις περιπτώεις που έχουμε αναγωγικό τύπο στο ορισμένο ολοκλήρωμα εφαρμόζουμε την μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί:
Παράδειγμα.
Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα:

    \[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx \quad \text{με } \,\,\, \nu \in \mathbb{N^{*}}\]


i) Να αποδείξετε ότι: I_{\nu} =e -\nu I_{\nu-1} για κάθε \nu \geq 2.
ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
\quad \quad \quad \dint_{0}^{1} xe^{x}\, dx και \dint_{0}^{1} x^{4}e^{x}\, dx.

Λύση
Ισχύει ότι:

    \[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot \big(e^{x}\big)' \, dx =\]

    \begin{align*} &\Big[ x^{\nu}e^{x}\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(x^{\nu})'\cdot e^{x}\, dx =\\\\ &\Big[ x^{\nu}e^{x}\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\nu\cdot x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &\Big[ \big(1^{\nu}e^{1}\big) -\big(0^{\nu}e^{0}\big)\Big] - \nu\cdot  \int_{0}^{1}x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &e-0 - \nu\cdot  \int_{0}^{1}x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &e- \nu\cdot  \int_{0}^{1}x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &e -\nu I_{\nu-1}. \end{align*}

ii_a) Για τον υπολογισμό θα κάνουμε χρήση της παραγοντικής ολοκλήρωσης,
Εχουμε ότι I_{1}=\dint_{0}^{1} x^{1}\cdot e^{x}dx, οπότε:

    \begin{align*} \int_{0}^{1} x\cdot e^{x}dx = &\dint_{0}^{1} x\cdot \Big(e^{x}\Big)'dx = \\\\                                &=\Big[ x \cdot e^{x} \Big]_{0}^{1} - \dint_{0}^{1} (x)'\cdot e^{x}dx = \\\\                                & =(1\cdot e^{1})- (0\cdot e^{0}) -\dint_{0}^{1} 1 \cdot e^{x}dx = \\\\                                &= e -\dint_{0}^{1} e^{x}dx = \\\\                                &=e -\Big[e^{x}\Big]_{0}^{1} = \\\\                                &= e -(e^{1} -e^{0}) = e - e +1 =1.  \end{align*}

iib_)Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος θα κάνουμε χρήση του αναγωγικού τύπου που βρίκαμε στο i) δηλαδή:

    \[I_{\nu} =e -\nu I_{\nu-1},\,\, \nu \geq 2.\]

Επειδή \dint_{0}^{1} x^{4}e^{x}\, dx=Ι_{4} έχουμε

    \begin{align*} I_{4} = & e -4I_{4-1}=\\\\         & e -4I_{3}=\\\\         & e -4\Big(e-3I_{3-1}\Big)=\\\\         & e -4\Big(e-3I_{2}\Big)=\\\\         & e -4e+12I_{2}=\\\\         & -3e+12I_{2}=\\\\         & -3e+12\Big(e-2I_{2-1}\Big)=\\\\         & -3e+12\Big(e-2I_{1}\Big)=\\\\         & -3e+12e-24I_{1}=9e -24I_{1}=9e -24\cdot1 =9e-24. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *