ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΠΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Print Friendly, PDF & Email
Για τα ολοκληρώματα της μορφής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} e^{\kappa x+\lambda}\hm(\mu x+\nu )dx \,\,\, \text{ή} \int_{\alpha}^{\beta} e^{\kappa x+\lambda}\syn(\mu x+\nu)dx\]

όπου \kappa,  \mu\in\rr^*μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας είτε τον εκθετικό είτε το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα:

    \[ e^{\kappa x+\lambda}=\bigg(\dfrac{ e^{\kappa x+\lambda}}{\kappa}\bigg)'\]

    \[ \hm(\mu x+\nu)=\bigg(-\dfrac{\syn(\mu x+\nu)}{\mu}\bigg)'\]

    \[ \syn(\mu x+\nu)=\bigg(\dfrac{\hm(\mu x+\nu)}{\mu}\bigg)' \]

Συνήθως σε ολοκληρώματα αυτής της μορφής εφαρμόζουμε την παραγοντική ολοκλήρωση περισσότερες απο μία φορές και εμφανίζεται ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα I. Εξισώνουμε τότε το I με το τελικό αποτέλεσμα και λύνουμε ως προς I.

Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{0}^{\pi}e^x\hm xdx\]

Λύση
Έχοντας υπόψιν τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης:

    \[\color{white} \int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx\]

γράφουμε:

    \begin{eqnarray*} 		I&=&\int_{0}^{\pi}e^x\hm xdx\\\\ 		&=&\int_{0}^{\pi}(e^x)'\hm  xdx\\\\ 		&=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}e^x(\hm x)'dx\\\\                 &=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}e^x\syn xdx\\\\ 		&=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}(e^x)'\syn xdx\\\\                 &=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}- \Bigg\{\big{[}e^x\syn x\big{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}e^x(\syn x)'dx\Bigg\}\\\\ 		&=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\big{[}e^x\syn x\big{]}^{\pi}_{0}+\int_{0}^{\pi}e^x(\syn x)'dx\\\\ 		&=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\big{[}e^x\syn x\big{]}^{\pi}_{0}+\int_{0}^{\pi}e^x(-\hm x)dx\\\\                 &=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\big{[}e^x\syn x\big{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}e^x\hm xdx\\\\ 		&=&\big{[}e^x\hm x\big{]}^{\pi}_{0}-\big{[}e^x\syn x\big{]}^{\pi}_{0}-I 	\end{eqnarray*}

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*} 		&I=[e^{\pi}\hm \pi-e^0\hm 0]-\big{[}e^{\pi}\syn \pi-e^0\syn 0\big{]}^{\pi}_{0}-I \Leftrightarrow\\\\ 		&I=0-\big(-e^{\pi}-1\big)-I \Leftrightarrow\\\\ 		&2I=e^{\pi}+1 \Leftrightarrow\\\\ 		&I=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}. 	\end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *