ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΠΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ

Print Friendly, PDF & Email
Τα ολοκληρώματα της μορφής γινομένου, πολυωνυμικής επι λογαριθμικής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\ln(\kappa x)dx,\]

με \kappa\in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο, μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το πολυώνυμο ως παράγωγο μιας αρχικής του.

Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \dint_{1}^{e}\ln x \, dx.
Λύση

Έχοντας υπόψιν τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης:

    \[\color{white} \int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx\]

γράφουμε:

    \begin{align*} & \int_{1}^{e}\ln x \, dx =\\\\ & \int_{1}^{e} 1 \cdot \ln x \, dx =\\\\ & \int_{1}^{e} (x)'\cdot \ln x \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} x\cdot \big(\ln x\big)' \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} x\cdot \dfrac{1}{x} \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} 1 \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} (x)' \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} - \Big[x \Big]_{1}^{e}\, dx =\\\\ &( e\cdot \ln e -1\cdot \ln 1) -(e -1)=\\\\ &( e -0) -(e -1)=\\\\ & e -e +1 =1. \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{1}^{2}(2x-3)\ln xdx\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{align*}   	&\int_{1}^{2}(2x-3)\ln x \,dx=\\\\         &\int_{1}^{2}(x^2-3x)'\ln x \,dx=\\\\ 	&\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\int_{1}^{2}(x^2-3x)(\ln x)'dx=\\\\ 	&\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\int_{1}^{2}(x^2-3x)\dfrac{1}{x}dx=\\\\ 	&\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\int_{1}^{2}(x-3)dx=\\\\ 	&\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\big{[}\dfrac{x^2}{2}-3x\big{]}^{2}_{1}=\\\\ 	&\big[(4-6)\ln 2-(1-3)\ln  1\big]-\big[2-6-\dfrac{1}{2}+3\big]=\\\\ 	&-2\ln 2+\dfrac{3}{2} 	\end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *