ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ

Print Friendly, PDF & Email
Έστω \kappa\in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο. Ολοκληρώματα της μορφής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\hm(\kappa x+\lambda)dx \quad \text{ή} \quad \int_{\alpha}^{\beta} P(x)\syn(\kappa x+\lambda)dx\]

μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα είναι

    \[ \hm(\kappa x+\lambda)=\Bigg(-\dfrac{\syn(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]

ΚΑΙ

    \[\syn(\kappa x+\lambda)=\Bigg(\dfrac{\hm(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]


Παράδειγμα.1.

Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα \dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cdot \hm x \,\,dx
Λύση

Έχοντας υπόψιν τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx\]

Ισχύει:

    \begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cdot \hm x \,\,dx =\\\\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cdot (-\syn x)' \,\,dx =\\\\ &\Big[ x\cdot (-\syn x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x)'\cdot (-\syn x) \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x)'\cdot \syn x \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \syn x \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \big(\hm x\big)' \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } +  \Big [\hm x \Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}  =\\\\ -&\Big[ \big(\dfrac{\pi}{2}\cdot \syn \dfrac{\pi}{2}\big)- 0\Big] +  \Big [\hm \dfrac{\pi}{2} -\hm 0 \Big] = \hm\dfrac{\pi}{2} =1.\\\\ \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{0}^{\pi}x\sigma\upsilon\nu2xdx\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{eqnarray*}  		\int_{0}^{\pi}x\syn 2xdx&=&\int_{0}^{\pi}x\cdot\Big(\dfrac{\hm 2x}{2}\Big)'dx\\\\\\ 		&=&\Bigg{[}x\cdot \dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}(x)'\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}dx\\\\\\ 		&=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\hm 2xdx\\\\\\                 &=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\Big(-\dfrac{\syn 2x}{2}\Big)'dx\\\\\\ 		&=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\dfrac{1}{2}\Bigg{[}-\dfrac{\sigma\upsilon\nu2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}\\\\\\ &=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}+\dfrac{1}{2}\Bigg{[}\dfrac{\sigma\upsilon\nu2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}\\\\\\ 		&=&\Big(\pi\dfrac{\eta\mu2\pi}{2}-0\Big)+\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\sigma\upsilon\nu2\pi}{2}-\dfrac{\sigma\upsilon\nu0}{2}\Big)\\\\\\ 		&=&0+\dfrac{1}{2}\cdot\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\Big)=0 	\end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *