ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ

Print Friendly, PDF & Email

Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες ή παραγοντική ολοκλήρωση για το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζεται απο τον τύπο:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx\]

όπου f' και g' είναι συνεχής συναρτήσεις στο [\alpha,\beta].


Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \dint_{0}^{1} x\cdot e^{x}dx.
Λύση
Για τον υπολογισμό θα κάνουμε χρήση της παραγοντικής ολοκλήρωσης

    \begin{align*} \dint_{0}^{1} x\cdot e^{x}dx = &\dint_{0}^{1} x\cdot \Big(e^{x}\Big)'dx = \\\\                                &=\Big[ x \cdot e^{x} \Big]_{0}^{1} - \dint_{0}^{1} (x)'\cdot e^{x}dx = \\\\                                & =(1\cdot e^{1})- (0\cdot e^{0}) -\dint_{0}^{1} 1 \cdot e^{x}dx = \\\\                                &= e -\dint_{0}^{1} e^{x}dx = \\\\                                &=e -\Big[e^{x}\Big]_{0}^{1} = \\\\                                &= e -(e^{1} -e^{0}) = e - e +1 =1.  \end{align*}

Έστω \kappa \in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο.
Ολοκληρώματα της μορφής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\cdot e^{\kappa x + \lambda}dx\]

μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το εκθετικό ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα είναι

    \[e^{\kappa x +\lambda}=\Bigg(\dfrac{e^{\kappa x+\lambda}}{\kappa}\Bigg)'\]


Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{0}^{1}x^2e^{2x}dx\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{align*}     	&\int_{0}^{1}x^2\cdot e^{2x}dx=\int_{0}^{1}x^2\cdot\Big(\dfrac{e^{2x}}{2}\Big)'dx=\\\\		 	&\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}(x^2)'\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}=\\\\ 	&\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}2x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}dx=\\\\         &\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}x\cdot e^{2x} dx=\\\\ 	&\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}x\cdot\Big(\dfrac{e^{2x}}{2}\Big)'dx=\\\\ 	&\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\Big{[}x\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}(x)'\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\Big{[}x\cdot  e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}}{2}dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\big{[}x\cdot  e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{2x}dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\big{[}x\cdot  e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} \Big{(}\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{)}'dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Big{[}x \cdot e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}+\dfrac{1}{2}\Big{[}\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}=\\\\ &=\dfrac{e^2}{2}-e^2+\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{-e^{2}-1}{4}. 	\end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

2 thoughts on “ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ”

  1. Καλησπέρα σας κι ευχαριστώ πολύ πολύ για το υλικό που ανεβάζεται
    Έχω την εξής απορία:
    Στο πχ2 στη 2η σειρά στο ολοκλήρωμα, δεν θα έπρεπε να είναι (e^2x)/2? Δεν ξέρω αν μου έχει κολλήσει λάθος ο τύπος αλλά νομίζω πως έτσι είναι
    Καλή συνέχεια

    1. Έχετε απόλυτο δίκιο. Το σχόλιο σας βοήθησε στον εντοπισμό και τη διόρθωση του αριθμητικού λάθους.
      Σας ευχαριστώ πολύ!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *