ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Print Friendly, PDF & Email

Ξέρουμε ότι: το ορισμένο ολοκλήρωμα \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx είναι σταθερός αριθμός.
Δηλαδή \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx =c, \quad c\in \rr, οπότε θα ισχύει: \bigg(\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx\bigg)'=0.
Συνεπώς στην περίπτωση που έχουμε μια ισότητα I η οποία περιέχει τις f(x), f(x) και το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx και θέλουμε να βρούμε την f τότε:

  • Θέτουμε c=\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx \quad (1.)
  • Αντικαθιστούμε στη σχέση I το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx με το c
  • Βρίσκουμε την συνάρτηση f συναρτήσει του c και
  • Την αντικαθιστούμε στη σχέση (1).

Παράδειγμα.1.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr για την οποία ισχύει

    \[f(0)=2 \quad \text{και} \quad f'(x)=\int_{0}^{1}f(t)dt\]

για κάθε x\in\rr. Να βρείτε το τύπο της f.
Λύση

Έστω ότι είναι:

    \[\int_{0}^{1}f(t)dt=c \in\rr\]

Τότε για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

    \begin{align*} 		&f'(x)=c \Leftrightarrow\\ 		&f'(x)=(c\cdot x)' \Leftrightarrow\\ 		&f(x)=c\cdot x +c_{1} 	\end{align*}

Όμως είναι:

    \[f(0)=2 \Leftrightarrow c\cdot 0 +c_{1} =2 \Leftrightarrow  c_{1}=2.\]

Έτσι η f(x) =c\cdot x+2 οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται:

    \begin{align*}                 &c=\int_{0}^{1}f(t)dt\Leftrightarrow\\\\ 		&c=\int_{0}^{1}(c\cdot t +2)dt \Leftrightarrow\\\\ 		&c=\Big{[}\frac{c\cdot  t^2}{2}+2t\Big{]}^{1}_{0}\Leftrightarrow\\\\ 		&c=\frac{c}{2}+2 \Leftrightarrow\\\\ 		&c=4 	\end{align*}

Επομένως για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f(x)=4x+2\]


Παράδειγμα.2.
Έστω η συνεχής συνάρτηση f:\rr \to \rr με f(0)=1. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν ισχύει:

    \[f'(x) = \int_{0}^{1} f(x)dx -f(x), \quad x \in \rr.\]

Λύση
Θέτουμε \dint_{0}^{1} f(x)dx =c \quad (1).
Οπότε για κάθε x \in \rr, θα ισχύει:

    \begin{align*} &f'(x) = \int_{0}^{1} f(x)dx -f(x)\xRightarrow[\text{}]{(1)}\\\\ &f'(x) =c -f(x) \Rightarrow \\\\ &f'(x) +f(x) = c \Rightarrow \\\\ &e^{x}\cdot f'(x) + e^{x} \cdot f(x) = c\cdot e^{x} \Rightarrow \\\\ &e^{x}\cdot f'(x) + \Big(e^{x}\Big)' \cdot f(x) = \Big(c\cdot e^{x}\Big)' \Rightarrow \\\\ &\Big( e^{x}f(x)\Big)'= \Big(c\cdot e^{x}\Big)' \Rightarrow \\\\ & e^{x}f(x) =c\cdot e^{x} +c_{1}\Rightarrow \\\\ &e^{-x}\cdot e^{x}f(x) =e^{-x}\cdot c\cdot e^{x} + e^{-x}\cdot c_{1}\Rightarrow \\\\ &f(x) = c + e^{-x}\cdot c_{1} \,\, (2) \end{align*}

Επειδή

    \[f(0)=1\xRightarrow[\text{}]{(2)}c + c_{1} =1\Rightarrow c_{1} =1-c\, (3).\]

Επομένως

    \[(2)\xRightarrow[\text{}]{(3)} f(x) = c + e^{-x}\cdot (1-c)\,\, (4).\]

Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) μπορούμε να υπολογίσουμε την σταθερά c, δηλ.

    \begin{align*} &c=\int_{0}^{1}\Big[ c + e^{-x}\cdot (1-c)\Big] dx \\\\ &c =\int_{0}^{1}\Big[ c\cdot x + e^{-x}\cdot (c-1)\Big]'dx \\\\ & c = \Big[ c\cdot x + e^{-x}\cdot (c-1)\Big]_{0}^{1} \\\\ & c = c + e (c-1) - 1\cdot (c-1) \\\\ & 0 = (c-1)\cdot (e-1) \\\\ & c =1. \end{align*}

Aπο την σχέση (3) βρίσκουμε c_{1} =1-1 =0

Τελος απο τη σχέση (4) για c =1 και c_{1} = 0 βρίσκουμε:

    \[f(x) = 1+ e^{-x}\cdot 0\]

δηλαδή f(x) =1.

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *