ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

Print Friendly, PDF & Email

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της f χωρίς το απόλυτο. Τότε η f γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.


Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{-1}^{3} (2|x-2|+1)dx\]

Λύση
Θα γράψουμε τη συνάρτηση

    \[f(x)=2|x-2|+1\]

χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις.

Περ.1.
Αν x\geq 2 \Rightarrow x-2\geq 0\Rightarrow |x-2|= x-2.

τότε είναι:

f(x)=2(x-2)+1=2x-4+1=2x-3.

Περ.2.
Αν x < 2 \Rightarrow x-2 <0 \Rightarrow | x-2|=-(x-2) = -x+2.

τότε είναι:

f(x)=2(-x+2)+1=-2x+4+1=-2x+5.

Τελικά έχουμε:

    \[f(x)=\left\{     \begin{tabular}{ll}                 $-2x+5, \quad x<2$\\ 		$\,\,\, 2x-3, \quad x\geq2$\\ 	\end{tabular} 	\right. \]

Η

    \[f(x)=2|x-2|+1\]

είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:

    \begin{align*}      	\int_{-1}^{3} f(x)dx=&\int_{-1}^{2} f(x)dx+\int_{2}^{3} f(x)dx =\\\\ 							&\int_{-1}^{2} (-2x+5)dx+\int_{2}^{3} (2x-3)dx=\\\\                                                         &\int_{-1}^{2} (-x^{2}+5x)'dx+\int_{2}^{3} (x^{2}-3x)'dx=\\\\ 							&\big{[}-x^2+5x\big{]}^{2}_{-1}+\big{[}x^2-3x\big{]}^{3}_{2}=\\\\ 							&[(-4+10)-(-1-5)]+[(9-9)-(4-6)]=\\\\                                                         &(6+6)+(0+2)=14. 	\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *