ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Print Friendly, PDF & Email
‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

    \[f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}\]

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

με \alpha<x_o<\beta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Για να έχει νόημα το

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

    πρέπει η f να είναι συνεχής στο [\alpha, \beta] άρα και στο x_0.

  • Επίσης:

        \begin{eqnarray*} 		\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ 									&=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ 									&=&... 	\end{eqnarray*}

  • Παράδειγμα.
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)=\left\{ 	\begin{tabular}{ll} 		$2x+3, \quad x\leq1$\\ 		$3x^2-6x+8, \quad x>1$\\ 	\end{tabular} 	\right.  	\]

    Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

        \[\int_{-1}^{3} f(x)dx\]

    Λύση
    Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο 1.
    Έχουμε:

        \[f(1)=5\]

    Τα πλευρικά όρια της f(x) στο x_{0}=1 είναι:

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}(2x+3)=5.\]

    και

        \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}(3x^2-6x+8)=5.\]

    Δηλαδή:

        \[\lim_{x \to 1}f(x) =f(1)=5.\]

    Άρα η f είναι συνεχής στο 1.
    Επίσης η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (-\infty,1) και (1,+\infty) ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
    Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής στο [-1,3].
    Άρα έχουμε:

        \begin{align*}      	&\int_{-1}^{3} f(x)dx=\\\\ &\int_{-1}^{1} f(x)dx+\int_{1}^{3} f(x)dx=\\\\ 							&\int_{-1}^{1} (2x+3)dx+\int_{1}^{3} (3x^2-6x+8)dx=\\\\	 							&\big{[}x^2+3x\big{]}^{1}_{-1}+\big{[}x^3-3x^2+8x\big{]}^{3}_{1}=\\\\ 							&(1+3)-(1-3)+(27-27+24)-(1-3+8)=\\\\ 							&4+2+24-6=24.	 	\end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *