ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Print Friendly, PDF & Email
Γενικά, για να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f, στο [\alpha ,\beta], θα πρέπει να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την αρχική (παράγουσα) συνάρτηση G της f.
Δηλαδή εάν G, είναι μια παράγουσα της f, με f(x)=G'(x) τότε για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}G'(x)dx = \Big[ G(x)\Big]_{\alpha}^{\beta}.\]

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.\]

Λύση

‘Εχουμε:

    \begin{align*} &\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx =\\\\ &\int_{0}^{1}(x^{2}-2x +1)\cdot (3x +2) dx =\\\\ &\int_{0}^{1} (3x^{3}+2x^{2}-6x^{2}-4x+3x+2)dx = \\\\\ &\int_{0}^{1} (3x^{3}-4x^{2}-x+2)dx = \\\\ &\int_{0}^{1}\big( 3\cdot \dfrac{x^{4}}{4}- 4 \cdot \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2} +2x\big)'dx=\\\\ &\Big[ 3\cdot \dfrac{x^{4}}{4}- 4 \cdot \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2} +2x\Big]_{0}^{1}=\\\\ &\Big(\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}+2\Big)-0 =\dfrac{11}{12}. \end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

    \[\int_{1}^{4}  \Big( \syn(\pi x)+ \sqrt {x}\Big)dx.\]

Λύση

‘Εχουμε:

    \begin{align*} & \int_{1}^{4}  \Big( \syn(\pi x)+ \sqrt {x}\Big)dx=\\\\ & \int_{1}^{4}  \Big( \syn(\pi x)+ x^{^{\frac{1}{2}}}\Big)dx=\\\\ & \int_{1}^{4}  \Bigg( \bigg(\dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}\bigg)'+ \bigg(\dfrac{x^{^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}\bigg)'\Bigg)dx= \\\\\ &\int_{1}^{4}  \Bigg( \bigg(\dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}\bigg)'+ \bigg(\dfrac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\bigg)'\Bigg)dx= \\\\\ &\int_{1}^{4}  \Bigg( \dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}+ \dfrac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg)'dx= \\\\\ &\Bigg[ \dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}+ \dfrac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg]_{1}^{4}=\\\\ &\Bigg( \dfrac{\hm(4\cdot\pi )}{\pi}+ \dfrac{4^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg)-\Bigg( \dfrac{\hm(\pi )}{\pi}+ \dfrac{1^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg)=\\\\ &\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}= \dfrac{14}{3}. \end{align*}

Παράδειγμα.3.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{0}^{\pi} \dfrac{1-\hm x}{x+\syn x}dx\]


Λύση

Έχουμε:

    \begin{eqnarray*} 		\int_{0}^{\pi} \dfrac{1-\hm x}{x+\syn x}dx&=& \int_{0}^{\pi} \dfrac{(x+\syn x)'}{x+\syn x}dx\\\\        &=&\int_{0}^{\pi}\big{[}\ln(x+\syn x)\big{]}^{'}dx\\\\                &=&\big{[}\ln(x+\syn x)\big{]}^{\pi}_{0}\\\\ 												&=&\ln(\pi+\syn\pi)-\ln(0+\syn 0)\\\\ 												&=&\ln(\pi-1)-\ln1\\\\ 												&=&\ln(\pi-1) 	\end{eqnarray*}

Παράδειγμα.4.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{1}\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}dx\]

Λύση

    \begin{align*}  \int_{0}^{1}\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}dx &= \int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(2x-x^{2})}{e^{x}\cdot e^{x}}dx =\\\\                                        &= \int_{0}^{1}\dfrac{2xe^{x}-x^{2}e^{x}} {e^{2x}}dx =\\\\                                        &= \int_{0}^{1}\dfrac{(x^{2}\big)'e^{x}-x^{2}\big(e^{x}\big)'} {\Big(e^{x}\Big)^{2}}dx =\\\\                                          &= \int_{0}^{1}\bigg(\dfrac{x} {e^{x}}\bigg)'dx =\\\\                                          & =\Bigg[\dfrac{x} {e^{x}}\Bigg]_{0}^{1} = \dfrac{1}{e}-\dfrac{0}{e^{0}}=\dfrac{1}{e}. \end{align*}


Παράδειγμα.5.

Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν

    \[f(1)=\frac{3}{e} \quad \text{και} \quad f(0)=1\]

Να βρείτε το ολοκλήρωμα

    \[I=\int_{0}^{1} e^x(f(x)+f'(x))dx\]

Λύση

    \begin{eqnarray*}     	I&=&\int_{0}^{1} e^x\Big(f(x)+f'(x)\Big)dx\\\\ 		&=&\int_{0}^{1} e^xf(x)+e^xf'(x)dx\\\\ 		&=&\int_{0}^{1} \Big(e^xf(x)\Big)'dx\\\\                 &=&\Big[e^xf(x)\Big]_{0}^{1}\\\\ 		&=&\Big(e^1f(1)\Big)-\Big(e^0f(0)\Big)\\\\ 		&=&e\frac{3}{e}-1\\ 		&=&3-1=2 	\end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *