ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Γενικά, για να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης $f,$ στο $[\alpha ,\beta],$ θα πρέπει να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την αρχική (παράγουσα) συνάρτηση $G$ της $f.$
Δηλαδή εάν $G,$ είναι μια παράγουσα της $f,$ με $f(x)=G'(x)$ τότε για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}G'(x)dx = \Big[ G(x)\Big]_{\alpha}^{\beta}.$

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.$

Λύση

‘Εχουμε:

$\begin{align*} &\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx =\\\\ &\int_{0}^{1}(x^{2}-2x +1)\cdot (3x +2) dx =\\\\ &\int_{0}^{1} (3x^{3}+2x^{2}-6x^{2}-4x+3x+2)dx = \\\\\ &\int_{0}^{1} (3x^{3}-4x^{2}-x+2)dx = \\\\ &\int_{0}^{1}\big( 3\cdot \dfrac{x^{4}}{4}- 4 \cdot \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2} +2x\big)'dx=\\\\ &\Big[ 3\cdot \dfrac{x^{4}}{4}- 4 \cdot \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2} +2x\Big]_{0}^{1}=\\\\ &\Big(\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}+2\Big)-0 =\dfrac{11}{12}. \end{align*}$

Παράδειγμα.2.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\int_{1}^{4} \Big( \syn(\pi x)+ \sqrt {x}\Big)dx.$

Λύση

‘Εχουμε:

$\begin{align*} & \int_{1}^{4} \Big( \syn(\pi x)+ \sqrt {x}\Big)dx=\\\\ & \int_{1}^{4} \Big( \syn(\pi x)+ x^{^{\frac{1}{2}}}\Big)dx=\\\\ & \int_{1}^{4} \Bigg( \bigg(\dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}\bigg)'+ \bigg(\dfrac{x^{^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}\bigg)'\Bigg)dx= \\\\\ &\int_{1}^{4} \Bigg( \bigg(\dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}\bigg)'+ \bigg(\dfrac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\bigg)'\Bigg)dx= \\\\\ &\int_{1}^{4} \Bigg( \dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}+ \dfrac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg)'dx= \\\\\ &\Bigg[ \dfrac{\hm(\pi x)}{\pi}+ \dfrac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg]_{1}^{4}=\\\\ &\Bigg( \dfrac{\hm(4\cdot\pi )}{\pi}+ \dfrac{4^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg)-\Bigg( \dfrac{\hm(\pi )}{\pi}+ \dfrac{1^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}\Bigg)=\\\\ &\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}= \dfrac{14}{3}. \end{align*}$

Παράδειγμα.3.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

$\int_{0}^{\pi} \dfrac{1-\hm x}{x+\syn x}dx$

Λύση
Έχουμε:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} \dfrac{1-\hm x}{x+\syn x}dx&=& \int_{0}^{\pi} \dfrac{(x+\syn x)'}{x+\syn x}dx\\\\ &=&\int_{0}^{\pi}\big{[}\ln(x+\syn x)\big{]}^{'}dx\\\\ &=&\big{[}\ln(x+\syn x)\big{]}^{\pi}_{0}\\\\ &=&\ln(\pi+\syn\pi)-\ln(0+\syn 0)\\\\ &=&\ln(\pi-1)-\ln1\\\\ &=&\ln(\pi-1) \end{eqnarray*}$

Παράδειγμα.4.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\int_{0}^{1}\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}dx$

Λύση

$\begin{align*} \int_{0}^{1}\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}dx &= \int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(2x-x^{2})}{e^{x}\cdot e^{x}}dx =\\\\ &= \int_{0}^{1}\dfrac{2xe^{x}-x^{2}e^{x}} {e^{2x}}dx =\\\\ &= \int_{0}^{1}\dfrac{(x^{2}\big)'e^{x}-x^{2}\big(e^{x}\big)'} {\Big(e^{x}\Big)^{2}}dx =\\\\ &= \int_{0}^{1}\bigg(\dfrac{x} {e^{x}}\bigg)'dx =\\\\ & =\Bigg[\dfrac{x} {e^{x}}\Bigg]_{0}^{1} = \dfrac{1}{e}-\dfrac{0}{e^{0}}=\dfrac{1}{e}. \end{align*}$

Παράδειγμα.5.
Δίνεται συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν

$f(1)=\frac{3}{e} \quad \text{και} \quad f(0)=1$

Να βρείτε το ολοκλήρωμα

$I=\int_{0}^{1} e^x(f(x)+f'(x))dx$

Λύση

$\begin{eqnarray*} I&=&\int_{0}^{1} e^x\Big(f(x)+f'(x)\Big)dx\\\\ &=&\int_{0}^{1} e^xf(x)+e^xf'(x)dx\\\\ &=&\int_{0}^{1} \Big(e^xf(x)\Big)'dx\\\\ &=&\Big[e^xf(x)\Big]_{0}^{1}\\\\ &=&\Big(e^1f(1)\Big)-\Big(e^0f(0)\Big)\\\\ &=&e\frac{3}{e}-1\\ &=&3-1=2 \end{eqnarray*}$