ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΩΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{1}^{2} 6x^2ydx\]


Λύση

Έχουμε:

    \begin{eqnarray*} 		\int_{1}^{2} 6x^2ydx&=&\Big{[}2x^3y \Big]^{2}_{1}\\\\ 							&=&2\cdot2^3y-2\cdot1^3y\\\\ 							&=&16y-2y\\\\ 							&=&14y. 	\end{eqnarray*}

Παράδειγμα.2.
Αν ισχύει \dint_{4}^{5} f(x)dx=4 τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[I=\int_{1}^{3}\Big(\int_{4}^{5}xf(t)dt\Big)dx\]

Λύση
Για το ολοκλήρωμα \dint_{4}^{5}xf(t)dt η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t ενώ το x είναι σταθερός αριθμός, οπότε ισχύει:

    \[\int_{4}^{5}xf(t)dt=x\int_{4}^{5}f(t)dt.\]

Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:

    \begin{eqnarray*}      	I&=&\int_{1}^{3}\Big(\int_{4}^{5}xf(t)dt\Big)dx\\\\ 		&=&\int_{1}^{3}x\Big(\int_{4}^{5}f(t)dt\Big)dx\\\\ 		&=&\int_{1}^{3}4xdx\\\\                 &=&\int_{1}^{3} \Big(2x^{2}\Big)' dx\\\\ 		&=&\Big{[}2x^2\Big{]}^{3}_{1}\\ 		&=&18-2=16. 	\end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *